Question

求数列解题方法。谢谢！

Answer 1

倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法. 书上求等比还是等差的和的公式就是用这个方法

2.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.
　形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。
　　例如，求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）
　　当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2；
　　当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；
　　∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；
　　两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；
　　化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2
　　Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
　　两边同时乘以1/2
　　1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
　　两式相减
　　1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
　　Sn=1-1/2^n
　　错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子（格式问题，在a后面的数字和n都是指数形式）：
　　S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）
　　在（1）的左右两边同时乘上a。 得到等式（2）如下：
　　aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）
　　用（1）—（2），得到等式（3）如下：
　　（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）
　　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
　　S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。
　　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
　　最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。
　　例子:求和Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方（x不等于0）
　　解：当x=1时，Sn=1+3+5+…..+(2n－1)＝n平方
　　当x不等于1时，Sn=Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方
　　所以xSn=x+3x平方+5x三次方+7x四次方……..+(2n-1)乘以x的n次方
　　所以两式相减的（1－x）Sn=1+2x(1+x+x平方＋x三次方＋。。。。。+x的n-2次方)－（2n-1）乘以x的n次方。
　　化简得：Sn=(2n-1)乘以x得n+1次方 －（2n+1）乘以x的n次方＋（1＋x）/(1-x)平方
　　Cn=(2n+1)*2^n
　　Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n
　　2Sn= 3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)
　　两式相减得
　　-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)
　　=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)
　　=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和)
　　=(1-2n)*2^(n+1)-2
　　所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2
　　错位相减法
　　这个在求等比数列求和公式时就用了
　　Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
　　两边同时乘以1/2
　　1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
　　两式相减
　　1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
　　Sn=1-1/2^n

3.分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.

4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.
比如 求 an=（n-1）（n-2）分之一 的前n项和 把 an=（n-2）分之一 减去（n-1）分之一
这样相邻两项就可以消去 就剩最后两位
5.公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式法求和，
书上公式 等差数列 an=ak+公差*（n-k）