Question

已知二项式（x+1/2)^n的展开式中前三项的系数成等差数列

求a0-a1+a2-a3+……+（-1）^an的值
求ai(i=0,1,2,……）的最大值

我已经知道n=8

Answer 1

在（x+1/2)^n的展开式中，令x=-1,即得
a0-a1+a2-a3.....+a8=(-1/2)^8=1/256
求ai(i=0,1,2,……）的最大值
设ai=C(8,i)(1/2)^(8-i)
其中ai是最大项，即
C(8,i-1)(1/2)^(9-i)≤C(8,i)(1/2)^(8-i) （1）
C(8,i+1)(1/2)^(7-i)≤C(8,i)(1/2)^(8-i) （2）
由（1）
8!/[(i-1)!*(9-i)!](1/2)^(9-i)≤8!/[i!*(8-i)!](1/2)^(8-i)
1/(9-i)≤2/i i≤6
由（2）
8!/[(i+1)!*(7-i)!](1/2)^(7-i)≤8!/[i!*(8-i)!](1/2)^(8-i)
2/(i+1)≤1/(9-i) i≥17/3>5
所以 i=6 a6=7
ai的最大值为：7
如果：ai=C(8,8-i)(1/2)^i
则可得i=2，a2=7.