Question

已知数列an满足a1=1,an+1=ln(1+an)-1/2an,求证:a1+a2+a3+…+an<2

大题目:已知函数f(x) =ln(1+x)-kx
(1)若f(x)的值为0，求k的值(这个会做)
(2)上面那个

Answer 1

当x∈(0,1]时,x/2<ln(1+x)≤x
(证明过程可以分别令g(x)=ln(1+x)-lnx和q(x)=ln(1+x)-x/2,求导后讨论(0,1]上的单调性,从而可得g(x)>0和q(x)≤0,本处省略[多年没有读书了,不记得书上有没有这个结论!])
所以0<a(n+1)≤1/2an
所以a2≤1/2a1=(1/2)^2
a3≤1/2a2=(1/2)^3
.....
an≤1/2a(n-1)=(1/2)^n
所以a1+a2+a3+…+an≤1+(1/2)^2+(1/2)^3+...+(1/2)^n
=[1-(1/2)^(n+1)]/(1-1/2)<1/(1/2)=2