Question

在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）在图1中证明CE=CF； （2）若∠ABC

(3)若∠ABC=120°FG∥CE FG=分别连接DB,DG,求∠BDG的度数

Answer 1

在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

⑴∵AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB
∵AB∥CD
∴∠BAE=∠CFE
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∴∠CEF=∠AEB=∠CFE
∴CE=CF
⑵45°
连BG、CG
∵BE=AB=DC
EG=CG
∠BEG=135°=∠DCG
∴△BEG≌△DCG，BG=DG
∴∠BGE=∠DGC
∴∠BGD=∠EGC=90°
∴△BDG是等腰直角三角形
∴∠BDG=45°
⑶连BG、CG
易证四边形CEGF是菱形
又∠ABC=120°
∴EG=CG
又∠BEG=120°=∠DCG，BE=AB=DC
∴△BEG≌△DCG
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC
∴∠BGD=∠EGC=60°
∴△BGD是等边三角形
∴∠BDG=60°

Answer 2

（1）证明：如图1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．

（2）解：连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠DCB=90°，DF∥AB，
∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴EG=CG=FG，CG⊥EF，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，
∴BE=DC，
∵∠CEF=∠GCF=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG与△DCG中，
∵EG=CG∠BEG=∠DCGBE=DC，
∴△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，
又∵∠DGC=∠BGA，
∴∠BGE+∠DGE=90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°，

（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD为平行四边形
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH
∴BH=GF
在△BHD与△GFD中，
∵DH=DF∠BHD=∠GFDBH=GF，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°

Answer 3

　　解：
　　（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF.
　　∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AB∥CD.
　　∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F.
　　∴∠CEF=∠F.∴CE=Cf

　　(2)∠BDG=45°
　　(3)分别连接GB,GE,GC
　　∵AB∥DC,∠ABC=120°，∴∠ECF=∠ABC=120°，
　　∵FG∥CE且FG=CE,∴四边形CEGF是平行四边形.
　　由（1）得CE=CF,∴平行四边形CEGF是菱形.
　　∴EG=EC,∠GCF=∠GCE=1/2∠ECF=60°∴△ECG是等边三角形.
　　∴EG=CG,①
　　∠GEC=∠GCF=60°.∴∠GEC=∠GCF.∴∠BEG=∠DCG.②
　　由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB.∴AB=BE.
　　在平行四边形ABCD中，AB=DC.∴BE=DC.③
　　由①②③得△BEG≌△DCG.∴BG=DG,∠1=∠2.
　　∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°.
　　∴∠BDG=(180°-∠BGD)/2=60°

Answer 4

（1）因为BC平分角BAD
所以角BAE=角DAE
因为AD平行于BC
所以角DAE=角AEB
因为角FEC与角AEB是对顶角
所以角FEC=角AEB
又因为AB平行于CD
所以角BAE=角EFC
所以CE=CF
第三小问我不明白你写什么

Answer 5

1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）解：连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠DCB=90°，DF∥AB，
∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴EG=CG=FG，CG⊥EF，
∴△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，
∵BE=DC，
∴∠CEF=∠GCF=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°
∴△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，
又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGE+∠DGE=90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG=45°，
（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形
∴∠ABC=120°，AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH
∴BH=GF ∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°