Question

已知数列{An}满足：a1=1，a2=2，a（n+2）=[an+a（n-1）]/2, 1，令bn=a(n+1）-an，证明：bn为等比数列

（2)求an的通项公式

Answer 1

是不是a(n+2)=[an+a(n+1)]/2?
b(n+1)=a(n+2)-a(n+1)=[an+a(n+1)]/2-a(n+1)=-[a(n+1)-an]/2
b(n+1)/bn=-1/2常数
所以，bn为等比数列
b1=a2-a1=1
bn=

追问

不是，试卷上就是这么写的

追答

可能试卷写错了，不然是没有意义的
bn=(-1/2)^(n-1)
a(n+1)-an=bn=(-1/2)^(n-1)
an-a(n-1)=b(n-1)=(-1/2)^(n-2)
....
a3-a2=b2=-1/2
a2-a1=b1=1
以上各式相加，得
an-a1=2/3[1-(-1/2)^(n-1)]
an=5/3-2/3*(-1/2)^(n-1)

Answer 2

如果不是试卷印刷错误，就是你抄错了，单从题目条件出发，也是不可求的：只知道a1和a2，只能由递推式求出a4，a3是不可求的，而且可以证明，从a5开始，后面所有的项都是不可求的。退一万步讲，即使给出了a3，按照题设的通项，我可以证明b(n)一定不是等比数列
题目中给出的通项的特征方程是3次方程，x²=(1+1/x)/2, 解得：x1=1，x2,3=(-1±i)/2
从而得到a(n)的通项的形式为：a(n)=[a*cos(3nπ/n)+b*sin(3nπ/4)]*(1/√2)^n+c，其中a,b,c为待定系数。从这个通项不难看出，b(n)是不可能为等比数列的。

到此，只有一种可能，就是题目错了，a(n-1)应该是a(n+1), 按照特殊的解法可以参考楼上的，在此我谨给出通用的解法，详情可以参考我的百度空间的数列专题，里面涵盖了中学阶段所有可能的数列通项的求解方法。
此时特征方程为：
x²=(1+x)/2, 解得：x1=1, x2=-1/2
从而a(n)可以写成：a(n)=a*x1^n+b*x2^n=a+b(-1/2)^n
将a(1)=1,a(2)=2带人上式可以得到一个二元一次方程组，可以解得：a=5/3,b=4/3
所以：a(n)=5/3+4/3*(-1/2)^n

Answer 3

已知数列{An}满足：a1=1，a2=2，a（n+2）=[an+a（n-1）]/2, （1），令bn=a(n+1）-an，证明：bn为等比数列（2)求an的通项公式