Question

五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠BAE=∠BCD=120°，∠ABC+∠AED=180°，连接AD．求证：AD平分∠CDE．

Answer 1

三、解答题
证一：如图40，连接AC，将△ABC绕A点旋转120°到△AEF．
∵AB=AE，∠BAE=120°，∴AB与AE重合．又∠ABC+∠AED=180°．
∴D，E，F在一条直线上，AC=AF．在△ACD和△AFD中，DE+EF=DE+BC=CD．AF=AC，
∴△ACD≌△AFD，∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE．
证二：如图41连接AC．
∵BC+DE=CD,AB=AE,∠ABC+∠AED=180°．
∴将△ABC，绕C点顺时针方向旋转至
△FGC，同时将△AED绕D点逆时针方向旋转至△FGD．
则AB与AE重合成FG，AC旋转后成CF，AC=CF，AD旋转后成DF，AD=DF，CD=CD．
∴△ACD≌△FCD，∴∠ADC=∠FDC=∠ADE．即AD平分∠CDE．
证三：如图42．
∵BC+DE=CD．在CD上，取CF=DE，则FD=BC．连接BF，FE，AF，AC．
在△BCF和△FDE中，BC=FD，CF=DE，∠BCF=120°，
∠FDE=540°-120°-120°-180°=120°（五边形内角和=540°）
∴△BCF≌△FDE．∴BF=FE，∠1=∠3，∠2=∠4．
在△ABF和△AEF中，AB=AE，BF=FE，

在△ACF和△ADE中，AF=AE，CF=DE，∠AFC=60°+∠2=60°+∠4=∠AED，
∴△ACF≌△ADE，∠ADE=∠ACF，AC=AD，∠ACF=∠ADF，
∴∠ADE=∠ADF，∴AD平分∠CDE．
证四：如图43，延长BC，ED相交于F，自A向BC和DE的延长线引垂线AG，AH，垂足分别为G，H连接AF与CD相交于K．
在Rt△ABG和Rt△AEH中，AB=AE，∠ABG=180°-∠AED=∠AEH，
∴△ABG≌△AEH，∴AG=AH，∠BAG=∠EAH．

Answer 2

连接AC，延长DE到F，使得DF=CD。
要证AD平分∠CDE，只需证明∠ADC=∠ADF。
下面证明三角形ACD全等于三角形AFD：
因为CD=DF， AD=AD
只需证明AC=AF。

由于AC,AF分别在三角形ABC,AEF中，只需证明这两个三角形全等即可。
首先，由已知得∠ABC=180°-∠AED, ∠AEF=180°-∠AED(互为补角)，所以∠ABC=∠AEF。
又因为AB=AE，BC=CD-DE=DF-DE=EF，
根据SAS可知，三角形ABC全等于三角形AEF。
于是，AC=AF。

在三角形ACD和三角形AFD中，根据SSS可知，两个三角形全等。
故∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE。