Question

已知：如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF DP,交AB于点E，交CD于点G,交BC的延长线于点F，(

已知：如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF DP,交AB于点E，交CD于点G,交BC的延长线于点F，(1)求证：DP=PF(2)若正方形ABCD的边长为3，且CP=根号2，求线段AE的长度。

Answer 1

（1）
∵EF⊥DP
∴∠DPF=90°
∵∠DCF=90°
∴PCFD为四点共圆
∠PDC=∠PFC
∠CPF=∠CDF
∵∠ACB=∠CPF+∠PFC=45°
∴∠PDF=∠PDC+∠CDF=∠CPF+∠PFC=45°
∵∠DFP=90°-∠PDF=45°
∴△DPF是直角等腰三角形
即：DP=PF
（2）作PK⊥BC交BC于K
在△CDP中
DP=√（CD^2+CP^2-2*CD*CP*Cos45°） （余弦定理）
=√（9+2-2*3*√2*Cos45°）
=√5
△CPK是直角三角形
∵CP=√2
∴PK=CK=1
∵PF=DP=√5
∴KF=2
∵CF=KF-CK=1
∴BF=BC+CF=4
∵KF/BF=PK/BE
∴BE=BF*PK/KF=4*1/2=2
即：AE=AB-BE=1