Question

如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

y=3x+3
x=0,y=3
y=0,x=-1
这三点都在抛物线上
(0,3)(-1,0)(3,0)
得对称轴x=2
所以设抛物线方程
y=a(x-1)^2+b
把(0,3)代入得
3=a+b
把(3,0)代入得
0=4a+b
联立解得
a=-1,b=4
解析式y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3
称轴上是否存在点Q(1,y)
(1)若AQ=BQ
2^2+y^2=1^2+(y-3)^2
解得y=1,Q(1,1)
(2)若AB=BQ
3^3+3^3=1^2+(y-3)^2
y=(6±√66)/2
Q(1,(6±√66)/2)
(2)若AB=AQ
3^3+3^3=2^2+y^2
y=±√14
Q(1,±√14)
所以共有5个Q点
Q(1,1)，(1,(6±√66)/2)，Q(1,±√14)

Answer 2

（1）∵直线y=3x+3交x轴于点A，交y轴于点B
∴将A（x，0），B（0，y）代入y=3x+3
解得x=-1,y=3
∴A（-1，0），B（0，3）

设抛物线方程为：y=ax²+bx+c
将A（-1，0），B（0，3）C(3，0)代入方程
解得a=-1，b=2，c=3
∴抛物线方程为：y=-x²+2x+3
（2）有抛物线的性质可得,对称轴x=-b/2a=1
∴Q的坐标为（1，y）

∴AB=√10
AQ=√（y²-6y+10）
BQ=√（4+y²）
若AB=AQ则,y=0或y=6，
因为当y等于6是Q在直线y=3x+3上,三点一线,不能构成三角形,故y=6舍去
若AB=BQ则,y=-√6或y=√6
若AQ=BQ则,y=1
综上可得Q的坐标可为（1，1）（1，√6）（1，-√6）（1，0）

Answer 3

解：（1）∵y=3x+3，
∴当x=0时，y=3，当y=0时，x=-1，
∴A（-1，0），B（0，3）．

（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意，得

0=a-b+c3=c0=9a+3b+c

，
解得
a=-1b=2c=3

∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3
）∵y=-x2+2x+3，
∴y=-（x-1）2+4
∴抛物线的对称轴为x=1，设Q（1，a），
1）当AQ=BQ时，
由勾股定理可得
BQ=BF2+QF2=(1-0)2+(a-3)2，
AQ=AD2+QD2=22+a2得
(1-0)2+(a-3)2=22+a2，解得
a=1，
∴Q（1，1）；
（2）如图：
当AB是腰时，Q是对称轴与x轴交点时，AB=BQ，
∴(1-0)2+(a-3)2=10
解得：a=0或6，
当Q点的坐标为（1，6）时，其在直线AB上，A、B和Q三点共线，舍去，
则此时Q的坐标是（1，0）；
当AQ=AB时，如图：
22+a2=10，解得a=±6，则Q的坐标是（1，6）和（1，-6）．
综上所述：Q（1，1），（1，0），（1，根号6），（1，-根号6）．

Answer 4

结果错了把，我们老师说了答案。但是没有过程，。是有5个Q点符合，但是是没有根号66的，是根号6把。本来是有六个的，可是有两个是重合的，这题你肯定是做错了。因为是要使得三角形ABQ是等腰三角形，有三种情况，。第一种就是以A点为顶点，使得AB=BQ，第二种情况就是要使得BA=BC，最后一种情况就是要使得CB=CA。就是这三种情况。y=3x+3
x=0,y=3
y=0,x=-1
这三点都在抛物线上
(0,3)(-1,0)(3,0)
得对称轴x=2
所以设抛物线方程
y=a(x-1)^2+b
把(0,3)代入得
3=a+b
把(3,0)代入得
0=4a+b
联立解得
a=-1,b=4
解析式y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3由第一题可得的解析式，因为要使得AB=BQ，所以，点Q的坐标就为（1，0）。

且要使得AQ=BQ
2^2+y^2=1^2+(y-3)^2
解得y=1,Q(1,1)
。

Answer 5

分析：（1）由直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，即可求得点A与B的坐标，又由过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0），利用两点式法即可求得抛物线的解析式；
（2）分别从AB=BQ，AQ=BQ，AB=AQ三方面去分析，注意抓住线段的求解方法，借助于方程求解即可求得答案．
解答：解：（1）∵当x=0时，y=3，
当y=0时，x=﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，3），
∵C（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
∴3=a×1×（﹣3），
∴a=﹣1，
∴此抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；

（2）存在．
①∵抛物线的对称轴为：x= =1，
∴如图对称轴与x轴的交点即为Q1，
∵OA=OQ1，BO⊥AQ1，
∴“当Q1B=AB时，设Q（1，q），
∴1+（q﹣3）2=10，
∴q=0，或q=6，
∴Q（1，0）或Q（1，6）．
当Q2A=Q2B时，设Q2的坐标为（1，m），
∴22+m2=12+（3﹣m）2，
∴m=1，
∴Q2（1，1）；
当Q3A=AB时，设Q3（1，n），
∴22+n2=12+32，
∴n=± ，
∴Q3（1， ），Q4（1，﹣ ）．
∴符合条件的Q点坐标为Q1（1，0），Q2（1，1），Q3（1， ），Q4（1，﹣ ），Q5（1，6）．．