Question

已知函数f（x）=sin²x+acosx+5/8a-3/2，a∈R当a=1时求函数f（x）的最大值

对于区间【0，π/2】上任意一个x，都有f（x）≤1成立，求实数a的取值范围

Answer 1

解： （1）当a=1时f(x)=sin²x+cosx-7/8 对f(x)求导，得： f′(x)=2sinxcosx-sinx=sinx(2cosx-1) 令f′(x)=0，得：sinx=0或cosx=1/2 分析其一个周期x∈[0,2π] 当x∈（0，π/3）时，f′(x)＞0，f(x)单调递增 当x∈（π/3，π）时f′(x)＜0，f(x)单调递减 当x∈（π，5π/3）时，f′(x)＞0，f(x)单调递增 当x∈（5π/3，2π）时，f′(x)＜0，f(x)单调递减 比较两个极大值f(π/3)和f(5π/3)得： f(5π/3)=f(π/3)=3/8 所以当a=1时，f(x)的最大值为3/8 （2） 令t=cosx，则1-t²=sin²x，对于x∈[0,π/2]，有t∈[0,1] 于是f(x)=1-t²+at+(5/8)a-3/2=-t²+at+(5/8)a-1/2 令g(t)=-t²+at+(5/8)a-1/2，当g(t)取得最大值时，对应的f(x)也能取得相等的最大值 对g(t)求导，得：g′(t)=a-2t 当a≤0时，对于t∈[0,1]有g′(t)≤0，g(t)在t∈[0,1]上单调递减 于是当t=0时g(t)取得最大值g(0)=(5/8)a-3/2＜0，符合题设 当a＞2时，g′(t)在t∈[0,1]上为正，g(t)在t∈[0,1]上单调递增, 于是当t=1时g(t)取得最大值g(1)=(13/8)a-3/2 令(13/8)a-3/2≤1，得：a≤20/13＜2，不符合 当0＜a≤2时，g′(t)在t∈[0,a/2)时为正，在t∈(a/2,1]时为负 于是当t∈[0,a/2)时，g(t)单调递增；当t∈(a/2,1]时，g(t)单调递减 当t=a/2时g(t)取得最大值g(a/2)=a²/4+(5/8)a-1/2 令g(a/2)≤1，得a²/4+(5/8)a-3/2≤0， 即2a²+5a-12≤0,(2a-3)(a+4)≤0 解出-4≤a≤3/2，于是0＜a≤3/2 ∴所求a的范围是a≤3/2