Question

数学立体几何问题，求大师解答！！！！

四棱锥P-ABCD中，已知三角形PDA和三角形PDC都是正三角形，AD=2,AB=√2,∠ADC=∠BAC=90º,M是PC的中点。①求证，BM平行平面PAD.②求直线PB与平面ABCD所成的正切值

Answer 1

①向量法可以解
首先取AC中点O，利用勾股定理证明OP垂直AC，OP垂直OD，然后以O为原点建系
CD方向为x轴，DA方向为y轴，OP方向为z轴
于是A(1,1,0)
B(-2,0,0)
C(-1,-1,0)
D(1,-1,0)
P(0,0,√2) M(1/2,1/2,√2/2)
于是向量BM=(5/2,1/2,√2/2)
在平面PAD中，向量CP=(1,1,√2)，向量CD=(2,0,0)
所以向量BM=CP/2 + CD，向量BM 平行于PAD

②OP垂直平面ABCD，因此角PBO就是PB和平面ABCD所成的角，正切值为OP/OB=√2/2