Question

设Sn是正项数列{an}的前n项和,且Sn=1/4an^2+1/2an-3/4,数列{Kn}满足Kn+1=3Kn -1，当n≧2时证明：

设Sn是正项数列{an}的前n项和,且Sn=1/4an2+1/2an-3/4,数列{Kn}满足Kn+1=3Kn -1，当n≧2时证明：
a1/（2K2-2）+a2/（2K3-2）+L+an/（2kn-2）＜8/3
图比较清楚，各位仁兄看图应该会好一点

Answer 1

an=2n+1

由k(n+1)=3(kn)-1可知
k2=3k1-1
k3=3（3k1-1）-1=3^2k1-（3+1）
k4=3（3^2k1-（3+1））-1=3^3k1-（3^2+3+1）
所以
kn=3^（n-1）k1-（1+3+...+3^（n-2））（n》2）
=3^（n-1）k1-（1（1-3^（n-1））/（1-3））
=3^（n-1）k1-1/2（3^（n-1）-1） k1=1代入化简
=1/2[3^(n-1)+1]
显然当n=1时，等式也成立，所以
kn=1/2[3^(n-1)+1]
an/（2k（n+1）-2）=（2n+1）/[3^n-1]
当n》2时，an/（2k（n+1）-2）=（2n+1）/[3^n-1]<(2n+2)/3^n
a1/(2k2-2)+a2/(2k3-2)+a3/(2k4-2)+.....+a(n-1)/2kn-2
<4/3+6/3^2+8/3^3+...+2n/3^(n-1) [这里自己求和下，同乘1/3，再相减就可]
=3/2{2/3+2[1/2(1-1/3^(n-1))]-2n/3^n}
=3/2[2/3+1-(1/3^(n-1)+2n/3^n)]
=3/2[5/3-(1/3^(n-1)+2n/3^n)]
=5/2-3/2(1/3^(n-1)+2n/3^n)]
<5/2<8/3

Answer 2

An—An—1=2

追问

???