Question

已知二次函数f（x）=ax^+bx=c且f(—1）=0，是否存在常数a,b,c，使得不等式x≤f(x)≤1/2（x^+1)对一切实数x

已知二次函数f（x）=ax^+bx=c且f(—1）=0，是否存在常数a,b,c，使得不等式x≤f(x)≤1/2（x^+1)对一切实数x都成立？若存在，求出实数a,b,c的值；若不存在，请说明理由。
（过程要详细，要看的懂。 答得好 一定加分的）

Answer 1

f（x）=ax^+bx=c 没写清 我当成 ax^2+bx+c
令x=1，则1<=f(1)<=1，所以f(1)=1 又f(-1)=0
代入得：a+b+c=1 a-b+c=0
所以 a+c=1/2 b=1/2
所以f（x）=ax^2+1/2x+1/2-a
f(x)≤1/2（x^2+1)对一切实数x都成立，即（1/2-a)x^2-1/2x+a>=0恒成立
（1）1/2-a=0 显然不成立
（2）f（x）为二次函数，恒大于0，只有二次项系数大于0，且判别式<=0
即1/2-a>0 且判别式=（4a-1）^2<=0
那么必须a=1/4
那么c=1/4
将验证a=1/4 b=1/2 c=1/4

Answer 2

f（x）=ax^+bx=c 没写清 我当成 ax^2+bx+c
令x=1，则1<=f(1)<=1，所以f(1)=1 又f(-1)=0
代入得：a+b+c=1 a-b+c=0
所以 a+c=1/2 b=1/2
所以f（x）=ax^2+1/2x+1/2-a
f(x)≤1/2（x^2+1)对一切实数x都成立，即（1/2-a)x^2-1/2x+a>=0恒成立
（1）1/2-a=0 显然不成立
（2）f（x）为二次函数，恒大于0，只有二次项系数大于0，且判别式<=0
即1/2-a>0 且判别式=（4a-1）^2<=0
那么必须a=1/4
那么c=1/4
将验证a=1/4 b=1/2 c=1/4 满足题意，故为所求