Question

高考数学题 关于导数的 请写出思路

不要单单是过程,要思路
前2问
我做出来了,不用做了
前两问好像是北京高考的(2011理科18题),大家自己查查答案看下把
题目在图片里

Answer 1

思考第三问我们要看图像，由(1),(2)问易得：f(x)的极大值点和极小值点分别为：A(-k,4k^2/e), B(k,0)，且在<-k 和>k上单调递增，在-k到k上单调递减。于是很自然的（你要自己画一个图，问交点的问题通常要通过图形来辅助思考）一定有一个区间L(比如(-k/2,k/2)或者［a,b］之类的开集、闭集、左开右闭或左闭右开的集合)使得当m∊L时，f(x)与y=m有三个不同的交点。
这时我们知道在[-k,k]上，f(x)与y=m一定有一个交点，这样我们只需考虑在x>k和x< -k上f(x)与y=m何时有交点。
x>k时。由于f(x)连续且f(x)在k>＝0上的极小值就等于0，因此只需考虑f(x)在k>0上的最大值。f(x)在k>0上单调递增，若对于t是一个实数，若存在x>k使得f(x)=t，则对于任意的0<y0<t, 都存在x0使得：f(x0)=y0。（这件事你看图就能明白，要证明需要大学知识，你能理解就好）。于是我们如果找到一个很大的x, 使得f(x)>4k^2/e, 则说明当m<=4k^2/e时，f(x)与y=m在x>k上必有交点。
于是，我们总能取到一个正整数N，使得：N>2k（只要在数轴上一个一个的数下去，这件事是办得到的，因为2k与2k+1是一个有限的数），令x=N, 于是：
f(x)=(N-k)^2 e^(N/k)
>k^2 e^2
>4k^2
>4k^2/e.
这样我们知道，只要0<m<=4k^2/e, 则f(x)与y=m在x>k上就有交点。
x<-k。易知0<f(x)<4k^2/e。现在只需考虑是否存在t>0使得在x< -k上，f(x)>=t总成立。同样的我们知道：在x< -k上，对于0<a<b, 若存在x1,x2< -k, f(x1)=a, f(x2)=b, 则对于任意的y0:a<y0<b, 必存在x0使得：f(x)=y0。于是对于任意的正数t，一定存在正整数N使得：1/N<t（实际上就是：N>1/t, 这也是可以做到的）.
此时遇到问题：当x趋近于负无穷时，(x-k)^2趋近于正无穷，e^(x/k)趋近于0, 则它们相乘要趋近于什么呢？由于f(x)=(x-k)^2 e^(x/k)=(x-k)^2/(e(-x/k)), 那我们就考虑g=|(x-k)^2|=(x-k)^2与h=|e(-x/k)|的大小就好了。
针对于这道题的情况我们可以考察这样一件事：对于任意的正整数n, 存在一个正数x0,对于任意的x>n, e^x>x^n。（可以对n用数学归纳法）。
于是我们得到：存在x0>k>0, 当x<-x0<-k时：
|f(x)|=|(x-k)^2 e^(x/k)|
=|(x-k)^2/x^3|*|x^3/e(-x/k)|
<|(x-k)^2/x^3| -->0, x趋近于负无穷时。
从而我们知道：当0<m<4k^2/e时，在x<-k上，f(x)与y=m必有交点。
综上：若要f(x)与y=m必有3个交点则：0<m<4k^2/e

思路：找到极大值点、极小值点、升降区间，画图，比较，再分析得到结论。

追问

是用洛必达法则吗?
本人高二,没学过大学数学,自己看麻省理工学院的公开课自学了一点

追答

实际运用时我们是习惯运用洛必达法则，但考虑到你可能没有学习过这种方法，所以我用了一个多项式比较的方法，再使用了归纳法，我觉得可能有些麻烦，但你能够理解，当然，如果你能理解洛必达法则并能运用，那么就省去了很多过程，对于趋近负无穷时的讨论，相信你也能得到正确并且容易理解的结果。

Answer 2

既然前两问以做，这里不再重复。
x < -k 或 x > k时, f(x)为增函数; -k < x < k时, f(x)为减函数.
x = -k时: f(x)取极大值
x = k时: f(x)取极小值
自己画个草图可知，要使y = m与其有三个不同交点，只需在x < -k, -k < x < k和x > k三个区间内各有一个交点即可.
m介于f(x)的极大值和极小值之间时, y = m在 -k < x < k内与f(x)有一个交点.
另两个交点要使在m大于f(x)在x趋近于负无穷时的极限, 并小于f(x)在x趋近于正无穷时的极限即可.

Answer 3

令G(x)=F(X)-M,先讨论k>0的，即先求出极值点，有单调性可知两个极值点一个是极小值一个极大值。然后用根的存在性就应该可以求出了。对k<0同样讨论

Answer 4

请楼主参考下,可指正.