Question

不等式难题 abc=1，a，b，c∈R正。 证明a³＋b³＋c³＋6≥（a+b+c）²

求过程，做出了麻烦给道相似类型和难度的题
有没有高一搞的懂的方法啊？

Answer 1

证明：∵a·b·c=1，且a、b、c∈R+（正实数）
∴a³＋b³＋c³－3abc
＝[(a＋b＋c)³－3a²b－3ab²－3b²c－3bc²－3c²a－3ca²－6abc]－3abc
＝(a＋b＋c)³－3(a²b＋ab²＋b²c＋bc²＋c²a＋ca²＋3abc)
＝(a＋b＋c)³－3(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)
＝(a＋b＋c)[(a＋b＋c)²－3(ab＋bc＋ca)]
＝(a＋b＋c)[(a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ca)－3(ab＋bc＋ca)]
＝(a＋b＋c)(a²＋b²＋c²－ab－bc－ca)
＝1/2 (a＋b＋c)[(a－b)²＋(b－c)²＋(c－a)²]≥0
则a³＋b³＋c³－3abc＝a³＋b³＋c³－3≥0，即a³＋b³＋c³≥3；
∴a³＋b³＋c³＋6≥9.
又∵(a＋b＋c)²≤3(a²＋b²＋c²)，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，即(a＋b＋c)²最大值为9；
∴a³＋b³＋c³＋6≥(a＋b＋c)².
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Answer 2

原问题转化为 求f(a,b,c)=（a+b+c）²-(a³＋b³＋c³)
在条件 abc=1 的最大值
拉格朗日函数 L（a,b,c,y）=（a+b+c）²-(a³＋b³＋c³)+y(abc-1)
解出其最大值点 a=b=c=1
f(a,b,c)=（a+b+c）²-(a³＋b³＋c³)的最大值=6
故f(a,b,c)=（a+b+c）²-(a³＋b³＋c³)<=6
即 a³＋b³＋c³＋6≥（a+b+c）²

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啥意思?不对吗？
给你做一个：
a，b，c∈R正，证明27[（a+b+c）/5]^5≥abc³

Answer 3

睡两觉起来还是没人做

Answer 4

反复应用：平方平均值>=几何平均值
即：x+y >= 2*根号(xy)

技巧：列项

原式= a^3/bc+ b^3/ac+ c^3/ab
= (a^3/2bc+ b^3/2ac)+(a^3/2bc+ c^3/2ab)+(b^3/2ac+ c^3/2ab)
>= 2*根号(a^3/2bc * b^3/2ac)+ 2*根号(a^3/2bc * c^3/2ab)+ 2*根号(b^3/2ac * c^3/2ab)
= ab/c +ac/b+ bc/a
= (ab/2c +ac/2b)+(ab/2c +bc/2a)+(ac/2b+ bc/2a)
>= 2*根号(ab/2c * ac/2b)+ 2*根号(ab/2c * bc/2a)+ 2*根号(ac/2b * bc/2a)
= a+b+c

所以：a^3/bc+ b^3/ac+ c^3/ab >= a+b+c
取等条件：a=b=c