Question

跪求高数达人帮忙解析一道题，答好了+20分

Answer 1

按楼上所说分按y=-x分D，但是不够，还要用坐标轴再分，D1 D2 D3 D4依次为从右到左再到下的顺序，请楼主画图。
∫∫D(xy+cosxsiny)dxdy=∫∫Dxydxdy+∫∫D(cosxsiny)dxdy
【对xy】
∫∫D1= -∫∫D2 （y不变x变负的）
∫∫D3= -∫∫D4（同理）
∫∫D=∫∫D1+∫∫D2+∫∫D3+∫∫D4=0
与xy无关
【对cosxsiny】
∫∫D1=∫∫D2 (y不变x变负，对cosx无影响）
∫∫D3= -∫∫D4 (x不变，y变负的，整体变负的）
∫∫D=2∫∫D1
因此可得A是答案

Answer 2

以y=-x把D分成两部分一二象限的为A,二三象限的为B，xy+Cosxsiny对y是奇函数，所以B部分求二次积分为0，所以原式=∫∫A(xy+cosxsiny)dxdy=∫∫Axydxdy+∫∫Acosxsinydxdy
xy对x是奇函数，COSXSINY对x是偶函数，所以原式=∫∫Acosxsinydxdy=2∫∫D1cosxsinydxdy