Question

若0<a<1,0<b<1,证明根号a^+b^+根号a^+(1-b)^+根号(1-a)^+b^+根号(1-a)^+(1-b)^>=2根号2

Answer 1

设：a=1/2±α b=1/2±β (α＜1/2,β＜1/2)
√（a^2+b^2）=√[（1/2±α）^2+(1/2±β)^2]
=√[1/2+α^2+β^2±(α+β)] ---------(1)
√[（1-a)^2+(1-b)^2]=√[（1/2-+α）^2+(1/2-+β)^2] (-+表示减加)
=√[1/2+α^2+β^2-+(α+β)] ---------(2)
√[a^2+(1-b)^2]=√[（1/2±α）^2+(1/2-+β)^2]
=√[1/2+α^2+β^2±(α-β)] -----------(3)
√[（1-a)^2+b^2]=√[（1/2-+α）^2+(1/2±β)^2]
=√[1/2+α^2+β^2-+(α-β)] ---------(4)
如果1/2+α^2+β^2=n，α±β=Δ
∵a^2+b^2＞0
∴1/2+α^2+β^2±(α+β)＞0
即：n＞Δ
计算（1）+（2）
=√ [（1）+（2）]^2
=√[（n+Δ）+（n-Δ）+2√(n+Δ)（n-Δ）]
=√[2n+2√(n^2-Δ^2)]
其中：（n^2-Δ^2）'=0有极值
(1/4+a^4+2*a^2*β^2+β^4-2aβ)'=0
4a^3+4*a*β^2+4*a^2*β+4β^3-2a-2β=0
2*a^2(α+β)+2*β^2(α+β)=α+β
a^2+β^2=1/2
当a→1/2，β→1/2时，√(n^2-Δ^2)→0，是最小值。
√[2n+2√(n^2-Δ^2)]→√2＞√2
同理（3）+（4）→√2＞√2
当α=β=0时，n=1/2。
（1）+（2）+（3）+（4）=√[2n+2√(n^2-Δ^2)]+√[2n+2√(n^2-Δ^2)]
=√4n+√4n
=2√2
当α≠0，β≠0时，n＞1/2。
（1）+（2）+（3）+（4）＞2√2
综合：
√（a^2+b^2）+√[（1-a)^2+(1-b)^2]+√[a^2+(1-b)^2]+√[（1-a)^2+b^2]≥2√2