Question

在△ABC中,AB=2根号5,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长，

三种答案，要求过程详细。急~~~~~~~

Answer 1

在△ABC中,AB=2根号5,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长，
解：因为 △ABD为等腰直角三角形
所以AD^2+BD^2=AB^2 AD=BD 2*AD^2=AB^2
AD^2=(2√5)2/2=10
AD=√10
由余弘定理得 csc∠CAB=(AC2+AB2-BC2)/2*AC*AB
=(4*4+2√5*2√5-2*2)/2*4*2√5
=2/√5
sin∠CAB=√(1-(csc∠CAB)^2 )=√(1-(2/√5) )^2=√5/5
csc∠CAD=csc(∠CAB+45)
=csc∠CAB*csc∠45-sin∠CAB*sin∠45
=2/√5*√2/2-√5/5*√2/2=√10/10
CD^2=AC^2+AD^2-2*AC*AD*csc∠CAD
=4^2+√10^2-2*4*√10*√10/10
=16+10-8
=18
CD=√18=3√2

追问

能不用余弦定理吗？

追答

也可用解析几何求解
设直角坐标糸使AB在X轴上, 原点O在AB中点,
则有各点坐标A(-√5,0); B(√5,0); D(0,- √5)
设C点坐标为C(X,Y)
由两点间距离公式得
(X+√5)^2+Y^2=4^2
(X-√5)^2+Y^2=2^2
解方程组得 X=(3/5) √5
Y=(4/5) √5
由两点间距离公式得
CD=3√2

Answer 2

解：∵AC=4，BC=2，AB=2 5 ，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
分三种情况：
如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．易证△ACB≌△BED，
易求CD=2 10 ；
如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．易证△ACB≌△DEA，
易求CD=2 13 ；
如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°，
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF，
∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，
∴△AFD≌△DEB，易求CD=3 2 ．
中间空格处均为根号

Answer 3

Answer 4

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/bb9364f1-b93b-4386-8b59-296c6e620eaf