Question

如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过

如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）B（-1，0）E（0，4）C（4，0）设解析式是y=ax2+bx+c
可得 a-b+c=0 c=4 16a+4b+c=0 解得 a=-1 b=3 c=4 （2分）∴y=-x2+3x+4（1分）
（2）△BDC是直角三角形（1分）
∵BD2=BO2+DO2=5，DC2=DO2+CO2=20，BC2=（BO+CO）2=25
∴BD2+DC2=BC2（1分）
∴△BDC是Rt△
点A坐标是（-2，0），点D坐标是（0，2）直线AD的解析式是y=x+2（1分）
设点P坐标是（x，x+2）
当OP=OC时x2+（x+2）2=16解得x=1±根号7 （x=-1+根号7 不符合，舍去）此时点P（1+根号7 ，3+ 根号7 ）
当PC=OC时（x+2）2+（4-x）2=16方程无解
当PO=PC时，点P在OC的中垂线上，∴点P横坐标是2，得点P坐标是（2，4）
∴当△POC是等腰三角形时，点P坐标是（1+ 根号7 ，3+根号 7 ）或（2，4）（2分）

（3）点M坐标是（3/2 ，7/2 )，点N坐标是（3/2 ，25/4 ），∴MN=11/4 （4）
设点P为（x，x+2）Q（x，-x2+3x+4），则PQ=-x2+2x+2
①若PQNM是菱形，则PQ=MN，可得x1=0.5，x2=1.5
当x2=1.5时，点P与点M重合；当x1=0.5时，可求得PM= 根号2 ，所以菱形不存在（2分）
②能成为等腰梯形，此时点P的坐标是（2.5，4.5）（2分）

Answer 2

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