Question

椭圆x2/4 + y2/3 =1：若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM,PN斜率都存在

并且记为Kpm，Kpn时，证明Kpm与Kpn之积是与点P位置无关的定值

Answer 1

椭圆(x/a)^2+(y/b)^2=1
M和N关于原点对称
设M=(acosα,bsinα) 则N=(-acosα,-bsinα)
P为任意一点
设P=(acosβ,bsinβ)
Kpm=(bsinβ-bsinα)/(acosβ-acosα)
Kpn=(bsinβ+bsinα)/(acosβ+acosα)
(sinβ)^2-(sinα)^2=1-(cosβ)^2-1+(cosα)^2=(cosα)^2-(cosβ)^2
所以Kpm*Kpn=-(b/a)^2

碰到这种关于原点对称又有斜率的
用三角函数会方便些 前提是你三角函数的公式要记得熟一点...

追问

我想用解析几何的方法，不用三角函数，不过你的方法挺好的

追答

一样啊
对称的两点是(x0,y0)和(-x0,-y0) P是(xp,yp)
斜率分别是(yp-y0)/(xp-x0)和(yp+y0)/(xp+x0)
相乘后[(yp)^2-(y0)^2]/[(xp)^2-(x0)^2]
其中(x0,y0)和(xp,yp)都满足x^2/4+y^2/3=1
所以(yp)^2=3-3(xp)^2/4
(y0)^2=3-3(x0)^2/4
所以乘积就是[3(x0)^2/4-3(xp)^2/4]/[(xp)^2-(x0)^2]=-3/4