Question

已知椭圆具有性质：若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM,PN斜率都存在

并且记为Kpm，Kpn时，那么Kpm与Kpn之积是与点P位置无关的定值。试对双曲线x²/a²-y²/b²=1写出具有类似特性的性质，并加以证明。

Answer 1

椭圆中，有：Kpm×Kpn=－b²/a²
双曲线中，有：Kpm×Kpn=b²/a²
证明如下：
在双曲线x²/a²－y²/b²=1中，设：m(p，q)，则n(－p，－q)，P(x，y)，则：
Kpm=[y－q]/[x－p]，Kpn=[y＋q]/[x＋p]
则：Lpm×Kpn=[y²－q²]/[x²－p²] 【x²/a²－y²/b²=1】
=b²/a²

追问

=[y²－q²]/[x²－p²] 【x²/a²－y²/b²=1】
=b²/a²
不明白这一步

追答

Kpm×Kpn=[y²－q²]/[x²－p²] 就是斜率的乘积
x²/a²－y²/b²=1：因为点P在双曲线上
实际计算时还需要利用下点M、N在双曲线上这个条件，最后是可以化简出来的。。