Question

这道题我想用均值不等式解 ，可是答案不对，不能这么解么？

题：直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=4，BB1=2，B1C1=1，P是A1B1上的一动点，则△APC1的周长的最小值为？正确答案是5+根号21.可是我用均值不等式解就不是这个数，是哪错了么？
如图我想作BB1中点D，连接PD则PC1=PD。要求的三角形周长为AC1+AP+PC1，AC1是定值，只要求出AP+PC1最小值即可，由均值不等式得AP+PC1≥2倍根号下AP乘PC1，取得最小值时AP=PC1，这样列式解出数来 有什么不对么？为什么和答案不一样啊？

Answer 1

不用均值不等式
还记得“蚂蚁寻食问题”吗？问蚂蚁怎样爬，最快能吃到食物。
我们是将那个长方体的侧面展开，利用"2点之间线段距离最短"的原理。
同理，将3棱柱侧面展平，则折现APC1是直线时，其长度最短为5，AC1为根号21
至于均值不等式求极值，要注意条件是“=”成立，你看AP能等于PC1吗？显然不会相等！三角形AA1P与三角形C1B1P相似，AA1/C1B1=2=AP/PC1,.故”AP=PC1“不成立啊，不能用均值不等式