Question

一道高中数学题谢谢

已知函数f(x)=3sin²x+2√3sinxcosx+5cos²x
若f（a）=5.求tana
设三角形abc内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosB/bcosC=1/(2a-c)
求f(x)在（0，B]上的值域
要过程谢谢

Answer 1

整理有f(x) = 3 + 2√3sinxcosx+2cos²x = 3 + 2√3sinxcosx+2cos²x -1 +1 =
4 + 2√3sinxcosx+2cos²x -1 = 4+√3sin2x + cos2x = 4+ 2sin(2x+π/6)
f(a)=5有f(a) = 4 + 2sin(2a+π/6)=5，于是sin(2a+π/6)=1/2
所以2a+π/6 = 2kπ+π/6即 a=kπ，所以tana = sina/cosa = 0
或者2a+π/6 = 2kπ+π-π/6即 a=kπ+π/3，所以tana = √3
综上tana = 0或者√3

△中根据正弦定理有a/b/c=sinA/sinB/sinC
cosB/bcosC=1/(2a-c)整理为cosB/cosC=b/(2a-c)=sinB/(2sinA-sinC)
展开有sinBcosC= 2cosBsinA- cosBsinC
移项有sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinA
左边为sin(B+C)=sinA, △中sinA≠0，两边除掉有2cosB=1
所以B=π/3
f(x)=4+ 2sin(2x+π/6)在（0, π/3]中的(0, π/6]递增，在[π/6, π/3]递减
所以值域为[5, 6]

Answer 2

出手慢了一步，满意答案中的5可能取不到