Question

三角形ABC,AD是角BAC角平分线EF垂直平分AD分别交AB于E，交AC于F求证四边形AEDF是菱形

Answer 1

证明：设AD,EF交与O点
AD是∠BAC角平分线 ,∴∠EAO=∠FAO, 而EF⊥AD,AO=AO
∴三角形AOE≌三角形AOF ①
∴OE=OF 而,EF垂直平分AD，有OD=OA ,∠DOE=∠AOF=90º
∴三角形DOE≌三角形AOF ②
∴∠EDO=∠FAO 得DE∥AF
OE=OF 而,EF垂直平分AD，有OD=OA ,∠DOF=∠AOE=90º
∴三角形DOF≌三角形AOE③
∴∠EAO=∠FDO 得AE∥FD
由①②③可得，AE=DE=AF=DF ,而DE∥AF AE∥FD
∴四边形AEDF是菱形

Answer 2

证明：
∵FE垂直平分AD
∴EA=ED，FA=FD
∴∠EAD=∠EDA
∵AD平分∠BAC，AD⊥EF
则△AEF是等腰三角形
∴AE=AF
∴AE=ED=DF=FA
∴四边形AEDF是菱形

Answer 3

∵EF垂直平分AD
∴EA=ED，FA=FD
又∵∠EAD=∠FAD
∴△EAD≌△FAD
∴EA=AF
∴EA=ED=FA=FD
∴四边形AEDF是菱形