Question

一道数学题 要告诉我理由

已知1+x+x²+x³+x^4+x^5=0 求x^6

因为1+x+x²+x³+x^4+x^5=0
所以x^6=1+x+x²+x^3+x^4+x^5+x^6=1+x（1+x+x²+x^3+x^4+x^5）=1+0=1
那么 已知x²+x=-1，求x^2010+x^2009+……+x²+x的值

Answer 1

因为；1+x+x²+x³+x^4+x^5=0
x^6=x^6+0=x^6+1+x+x²+x³+x^4+x^5=1+x(1+x+x²+x³+x^4+x^5)=1+0=1
而：x²+x=-1 即：x²+x+1=0
x（x²+x+1）=x³+x²+x=0

x^n+x^(n-1)+x^(n-2)=0
即：每相邻三项的和为0
2010÷3=670……为3的倍数。
所以：原式=（x+x²+x³）+（x^4+x^5+x^6）+(x^7+x^8+x^9)……+（x^2008+x^2009+x^2010）=0

Answer 2

类比很容易得到是
x²+x+1=0
原式=x^2008(x²+x+1)+x^2005(x²+x+1)+...x(x²+x+1)=0
注：此处2010是三的倍数！所以刚好。

Answer 3

x^2+x+1=0，所以两边乘以x那么 x+x^2+x^3=0，同理每连续3项都为0， 2010项也就为0

追问

所以结果为0吗

追答

是的