Question

已知函数f(x)=e^(-kx)(x^2+x-1/k)(k<0) 1.求f(x)单调区间 2.是否存在实数k,使的函数f（x）的极大值等于3e^

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R.f′(x)=-ke-kx(x2+x-
1
k
)+e-kx(2x+1)=e-kx[-kx2+(2-k)x+2]，
即 f'（x）=-e-kx（kx-2）（x+1）（k＜0）．
令f'（x）=0，解得：x=-1或x=
2
k
．
当k=-2时，f'（x）=2e2x（x+1）2≥0，故f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）．…（3分）
当-2＜k＜0时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：
x (-∞，2k) 2k (2k，-1) -1 （-1，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以，函数f（x）的单调递增区间是(-∞，
2
k
)和（-1，+∞），单调递减区间是(
2
k
，-1)．…（5分）
当k＜-2时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：
x （-∞，-1） -1 (-1，2k) 2k (2k，+∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）和(
2
k
，+∞)，单调递减区间是(-1，
2
k
)．…（7分）
（Ⅱ）当k=-1时，f（x）的极大值等于3e-2．理由如下：
当k=-2时，f（x）无极大值．
当-2＜k＜0时，f（x）的极大值为f(
2
k
)=e-2(
4
k2
+
1
k
)，…（8分）
令e-2(
4
k2
+
1
k
)=3e-2，即
4
k2
+
1
k
=3，解得 k=-1或k=
4
3
（舍）．…（9分）
当k＜-2时，f（x）的极大值为f(-1)=-
ek
k
．…（10分）
因为 ek＜e-2，0＜-
1
k
＜
1
2
，所以 -
ek
k
＜
1
2
e-2．
因为
1
2
e-2＜3e-2，所以 f（x）的极大值不可能等于3e-2．
综上所述，当k=-1时，f（x）的极大值等于3e-2．…（12分）

Answer 2

解：（1）原式 = e^(-kx)((x+1/2)²-1/4-1/k) ,由于k<0，故e^(-kx)为增函数，所以原函数的单调性跟
函数y=(x+1/2)²一致，所以在(-∞,-1/2)上单调递减，在(-1/2,+∞)上单调递增
（2）不存在，因为函数不存在极大值，只存在极小值