Question

设函数y=f(x)在(-∞，+∞)内连续，且f(x)→A(x→-∞),f(x)→B(x→+∞) (A、B为常数)，

若存在x0∈(-∞,+∞),使A、B<f(x0 )，则f(x)有最大值，这个定理该怎么证明

Answer 1

因为f(x)→A(x→-∞),f(x)→B(x→+∞) 且A、B<f(x0 )。
所以存在绝对值很大的负数A和正数B，当x∈(-∞,A)U∈(B,+∞)时，在f(x)<f(x0)。
因为f(x)是连续函数，所以f(x)在闭区间[A,B]上存在最大值f(x1)。
设M=max{f(x0),f(x1)}，则对于x∈(-∞,+∞)，恒有f(x)<=M，所以M为函数f(x)的最大值。

Answer 2

利用有界闭区间上的连续函数必有最大值M，然后证明M是（负无穷，正无穷）上的最大值。
证明：记e=min{(f(x0)--A)/2，(f(x0)--B)/2}>0，则存在X>0，当x>X，有
|f(x)--B|<e，当x<--X时，有|f(x)--A|<e，即
当x>X时，f(x)<B+e<=B+(f(x0)--B)/2=(B+f(x0))/2<f(x0) （*1），
当x<--X时，f(x)<A+e<=(A+f(x0))/2<f(x0)， （*2）
由此知道x0位于【--X,X】，在【--X，X】上必有最大值M，则M>=f(x0)。
在【--X，X】外面的点的函数值<=M（(*1)和(*2)式），在【--X，X】上的点的函数值<=M，故M就是最大值。