Question

如图所示，A,B,C三点在一条直线上，分别以AB,BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，AE交BD于点F，DC交BE

1、如图所示，若A,B,C不在一条直线上，则这时AE=DC，和BF=BG，是否仍然成立？如果成立，加以证明；如果不成立，说明理由
2、四边形ABDG和四边形BCFE是两个正方形，如图，AE=CD还成立吗？说明理由
。。

Answer 1

解：AE=DC，但BF≠BG．
理由（1）AE=DC．
∵△ABD和等边△BCE，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，
即∠ABE=∠CBD，
∴△ABE≌△DBC（SAS）．
∴AE=DC（全等三角形对应边相等），
∠BAE=∠BDC（全等三角形对应角相等）．
（2）BF≠BG．
理由：若BG=BF，由（1）可知△ABE≌△DBC，
∴∠BAF=∠BDG，
又AB=DB
则△ABF与△DBG有两边和一边的对角对应相等．
∴∠ABF=∠DBG或∠ABG+∠DBG=180°（不合题意，舍去）
∴△ABF≌△DBG（SAS）．
∴∠ABF=∠DBG=60°（全等三角形对应角相等）．
∴∠ABF=∠DBG=60°=∠CBE，
所以A、B、C在同一条直线上，这与题意A、B、C不在同一直线上矛盾，
∴BF≠BG．
另法：BF≠BG
上面已证明∠BCD=∠BEA
假如BF=BG（边），又BC=BE（等边三角形之边）
则必须∠EBF=60°（两边夹角）
才能使△BCG≌△BEF（SAS）
而现在的∠EBF是任意的．“A，B，C三点不在一条直线上”．
如果“A，B，C三点不在一条直线上”，且∠ABC=120°，
则BF=BG．

Answer 2

1 用边角边证明△ABE △ DBC全等 所以AE=CD 且角BDC=角BAF
所以△BAF △ BDG全等 所以BF=BG

2类似