Question

比较难的数学题

如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4根号3),点B在x轴正半轴上,且∠ABO=30° 2012-2-18 10:56 提问者： aaa1997318 | 浏览次数：1532次
图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4√3），点B在x正半轴上，且∠ABO=30°，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒√3个单位的速度运动，设运动时间为t秒，在x轴上取两点M,N作等边△PMN
（1)求直线AB的解析式
(2)求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值
（3）设△PMN与△AOB重叠部分的面积为S,当0<t<2时,直接写出S与t的函数关系式
谢了

Answer 1

1）由A（0，4√3），∠ABO=30°可知B（12，0）
AB所在直线解析式 y=-√3/3·x + 4√3
2）过P作等边△PMN的高交X轴于C，由题意可知P（3t/2，-√3t/2+4√3）
即PC=-√3/2·t+4√3，PM=PN=MN=2√3/3·PC=8-t
当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时，OC=MN/2
即3t/2=1/2（8-t），解得：t=2
3） 设PM交y轴于D，OM=MC-OC=MN/2-OC=4-2t
S=S△PMN-S△OMD
=√3/4·(8-t)^2-√3/2·(4-2t)^2
=-7√3/4·t^2 + 4√3·t + 8√3

追问

如果取OB的中点D，以OD为边在RT△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上，设等边△PMN赫举行ODCE重叠部分的面积为S，请求出当t大于等于0，小于等于2秒时S与t的函数关系式，请求出S的最大值

追答

由题意可知：C（6，2√3），E（0，2√3），P（3t/2，-√3t/2+4√3），N（4+t，0）
过P作X轴垂线交CE于G、交X轴于H，可知G（3t/2，-√3t/2+2√3）
观察图形可知：
1）当0≤t≤1时（PM经过E点时，3t/2+2=(8-t)/2，解得t=1）， 等边△PMN与矩形ODCE重叠部分是一个高为2√3的直角梯形。
设PN与CE交于点F，GF=√3/3·PG=2-t/2，EF=GE+GF=3t/2+2-t/2=t+2
S=1/2·（ON+EF）·OE=1/2·（t+2+t+4）·2√3=2√3·（t+3）
6√3≤S ≤8√3
2）当t=2时，N与D重合，等边△PMN与矩形ODCE重叠部分是边长为6的正三角形减去边长为2的正三角形。
S=√3/4·（6^2-2^2）=8√3
3）当1＜ t＜ 2时，等边△PMN与矩形ODCE重叠部分可以看作一个边长为（8-t）减去一个相似的小正三角形（相似比为PG/PH=（4-t）/（8-t））再减去一个以OM为30度所对直角边的直角三角形，OM=（8-t）/2-3t/2=4-2t。
S=√3/4·[（8-t）^2-（4-t）^2]-√3/2·（4-2t）^2
= -2√3·t^2 + 6√3t +4 √3
这个二次函数的顶点为（3/2，17√3/2）
综上，S的最大值为17√3/2

Answer 2

1）A点坐标：（0,4√3），∠ABO=30°，∠BAO=60，MB=OA*tan60=4√3*√3=12 ,A点坐标：（12,0），k=-√3/3,直线AB的解析式:y=-√3x/3+4√3.
2)过P点做直线PD垂直x轴，交x轴于点D,过N点线NE直PB交于点E,
PD⊥MB,，∠BPD=BAO=60，，∠PNM=∠ABO+∠BNP=60，∠ABO=30° ,
∠BNP=30=∠ABO ,PN=BN,NE=PN/2，BE=√3PN,PE=BE,PB=2BE=√3PN,AB=2OA=8√3
PA=√3*t=√3t,PB=8√3-√3t,
8√3-√3t=√3PN
PN=8-t
当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时,PA=2√3,t=2√3/√3=2秒
3)设PM与OA的交点为H, △PAH ∽△MOH,,PA=√3t,AH=2√3t,OH=4√3-2√3t,
OM=OH*tan30=4/3-2t/3
S=S△PMN-S△MOH=1/2*(8√3-√3t)^2*√3/2-1/2*(4√3-2√3t)*(4/3-2t/3)=√3(t^2/12-28t/3+136/3)

追问

如果取OB的中点D，以OD为边在RT△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上，设等边△PMN赫举行ODCE重叠部分的面积为S，请求出当t大于等于0，小于等于2秒时S与t的函数关系式，请求出S的最大值

Answer 3

FJI解：在直角三角形AOB中OA=4√3；∠ABO=30°所以OB=√(OA)＾2+(AB＾2=√(4√3)＾2+(8√3)＾2=4√15所以B点为（4√15，0）设直线方程为Y=AX+B待入A.B点的坐标解出A,B就可以了

追问

如果取OB的中点D，以OD为边在RT△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上，设等边△PMN赫举行ODCE重叠部分的面积为S，请求出当t大于等于0，小于等于2秒时S与t的函数关系式，请求出S的最大值