Question

如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC的延长线交于点F，连接EF，与CD边交于点G，与

如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC的延长线交于点F，连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H
若∠ADE=2∠BFE，求证；FH=HE+HD

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Answer 1

取EF的中点M，连结DM、BM
∵正方形ABCD
∴AD＝CD，∠ADC＝90°
∵∠EDF＝90°
∴∠ADE＝∠CDF
∴△ADE≌△CDF
∴DE＝DF
∴DM＝EM＝FM
∴∠EDM＝45°
∵∠ADM＋∠AEM＝360°－∠A－∠DME＝180°
∠AEM＋∠BEF＝180°
∴∠BEF＝∠ADM＝∠EDM＋∠ADE
∴90°－∠BFE＝45°＋∠ADE
∴90°－∠BFE＝45°＋2∠BFE
得：∠BFE＝15°，∠ADE＝30°
∴∠AED＝60°＝∠EBD＋∠BDE
∴∠BDE＝15°，∠HDM＝30°
∴HD＝2HM
∴FH＝FM＋HM＝EM＋HM＝EH＋2HM＝EH＋HD

追问

谢谢了，大概看懂了，感谢！

Answer 2

（1）解：∵四边形ABCD正方形，
∴∠BCD=90°，
∴Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，
即BC2=（2）2+（2）2，
∴BC=AB=1，
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∵∠ADE=∠CDFAD=DC∠A=∠DCF=90°​，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF=BF-BC=2-1，
∴BE=AB-AE=1-（2-1）=2-2；

（2）证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，
∵∠DHE=∠BHF，
∴∠EDH=∠BFH（三角形的内角和定理），
在△DEH和△DFI中，
∵DE=DF∠DEH=∠DFIEH=FI​，
∴△DEH≌△DFI（SAS），
∴DH=DI，
又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，
∴∠HDE=∠BFE=12∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE=45°，
∴∠HDE=15°，
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，
即△DHI为等边三角形，
∴DH=HI，
∴FH=FI+HI=HE+HD．