Question

（1）当斜边一定是,求直角三角形面积及周长的最大值；

（2)已知直角三角形的周长为10，求在什么条件下此直角三角形有最大面积，并求此最大面积。（有基本不等式的方法解）

Answer 1

1、斜边为x为定值 另两边为a b a^2+b^2=x^2
面积=1/2ab<=1/2*1/2(a^2+b^2)=1/4x^2
（a+b）^2=a^2+b^2+2ab<=a^2+b^2+a^2+b^2=2x^2
所以周长=a+b+x<=(√2+1)x
最大值均为a=b=√2/2x时取得
2、
又a+b>=2√ab
10=a+b+x =a+b+√a^2+b^2>=2√ab+√2ab=(2+√2)√ab
所以ab<=150-100√2
面积=1/2ab<=75-50√2
等号成立当且仅当a=b=10-5√2

追问

不知是我看不明白，还是你的第一问错了。麻烦写仔细一点，好吗？
面积=1/2ab<=1/2*1/2(a^2+b^2)=1/4x^2

追答

a^2+b^2>=2ab 所以ab=2ab）
所以a+b<=√2x
所以周长=a+b+x<=(√2+1)x

追问

面积=1/2ab<=1/2*1/2(a^2+b^2)=1/4x^2，就是这一步，不应该是1/2ab小于等于1/2*(（a+b)/2)^2吗？

追答

最最最基本的基本不等式是a^2+b^2>=2ab
其余的不等式都是从这里推导出来的
ab<=1/2(a^2+b^2) 和ab<=(（a+b)/2)^2都正确，但是取决于你要用哪个，这道题是x已知，那么就是a^2+b^2=x^2为定值，那么可以求出ab<=1/2x^2
但是ab<=*(（a+b)/2)^2 求不出任何的结果
不等式的运用取决于你的已知结果和要得到的结果