Question

已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2。

若函数y=x1+x2-x1x2+1,求函数y的最大值。

Answer 1

两个实数根和 x1+x2=2(k-1)
两个实数根相乘 x1x2=k^2
y=x1+x2-x1x2+1
=2(k-1)-k^2+1
=-k^2+2k-2+1
=-k^2+2k-1
=-(k-1)^2

关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根，
所以 (2（k-1）)^2-4(1)k^2>=0
4(k-1)^2>=4k^2
(k-1)^2>=k^2
k^2-2k+1>=k^2
1>=2k
k=<1/2

所以y的最大值为-(1/2-1)^2=-(-1/2)^2=-1/4

追问

k是≤1/2 怎么可以代进-(k-1)²呢?

追答

从y= -(k-1)^2 中，我们可以看出最大的y是0 (k=1， 可是我们知道最大的k是1/2)
无论k是正数还是负数，y的值一定是负的，
所以我们要选一个最接近1的，y的值才会上升，
所以选k=1/2

Answer 2

解：（1）由方程有两个实数根，可得
△=b2-4ac=4（k-1）2-4k2=4k2-8k+4-4k2=-8k+4≥0，
解得，k≤12；
（2）依据题意可得，x1+x2=2（k-1），x1•x2=k2，
由（1）可知k≤12，
∴2（k-1）＜0，x1+x2＜0，
∴-x1-x2=-（x1+x2）=x1•x2-1，
∴-2（k-1）=k2-1，
解得k1=1（舍去），k2=-3，
∴k的值是-3．
答：（1）k的取值范围是k≤12；（2）k的值是-3．

Answer 3

解：（1）∵方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1、x2，
∴△≥0，即4（k-1）2-4k2≥0，解得k≤12，
即k的取值范围为k≤12；
（2）根据根与系数的关系得，x1+x2=2（k-1），x1x2=k2，
y=x1+x2-x1x2+1
=2（k-1）-k2+1
=-（k-1）2，
∵当k＜1时，y随x的增大而增大，
∴当k=12时，y的值最大，
即k=12，y的最大值=-（12-1）2=-14．

Answer 4

x1+x2=2(k-1)
x1x2=k^2
△=4(k-1)^2-4k^2>=0
k^2-2k+1-k^2>=0
k<=1/2
y=x1+x2-x1x2+1=2(k-1)-k^2+1=-k^2+2k-1=-(k^2-2k)-1=-(k-1)^2
当k<1时递增
则当k=1/2时，y取最大值=-1/4