Question

高数题，要详细解答过程，谢谢

设f(x)在[a，b]上可微，0＜a＜b，证明：在（a，b）内至少存在一点A，使得f(b)－f(a)＝Af'(A)ln(b／a)

Answer 1

先变形，f(b)－f(a)＝Af'(A)ln(b／a)变形为：[f(b)－f(a)]/(lnb-lna)＝f'(A)/(1/A)。由于f(x)在[a,b]上可微，根据柯西中值定理，变形后的等式成立。 证毕

Answer 2

证明，考虑函数lnx和f(x）,x属于区间[a，b]，则lnx和f(x）在f(x)在[a，b]上连续，在（a，b）可导。由柯西中值定理，在区间（a，b）中至少存在点A，使得：
（ f(b)－f(a)）/(lnb-lna)＝f'(A)／(1/A)
即：f(b)－f(a)＝Af'(A)ln(b／a)