Question

一个初三初学几何问题，好变态啊。求解，急急急~~！！下午就考了，我不会呢。

如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上．OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺吋针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1，绕点B1按顺吋针方向旋转 120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即和，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形A001的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l2上，0A边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B2处，小慧又将正方形纸片 AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转，求顶点0经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转．求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点0经过的路程是 ？

Answer 1

旋转4次后相当于正方形向右平移了其周长的距离，即4的长度。所以第4n+k次旋转和第k次旋转类似(n,k∈N+).这样只需看第1,2,3,4次旋转的情况即可。
O经过的路程为：
第一次s1=π/2；第二次s2=π/√2；第三次s3=π/2；第四次s4=0。
①3次旋转围成图形的面积，画图可知，其值=π*1^2/4+[π*(√2)^2/4+1]+π*1^2/4=π+1
路程=s1+s2+s3=π(1+√2/2)
5次旋转路程=(s1+s2+s3+s4)+s1=π(3+√2)/2
②s=s1+s2+s3+s4=π(1+√2/2)
设正方形经过4n+k次旋转(n∈N,k=1,2,3,4)，则O的路程=ns+(s1+s2+…+sk)

Answer 2

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