Question

摆球质量为m ，摆长为l 的单摆 ，当其做简谐振动时，从正向 最大位移处运动到正向角位移 一半...

摆球质量为m ，摆长为l 的单摆 ，当其做简谐振动时，从正向 最大位移处运动到正向角位移 一半处，所用的最短时间是多少？？？

Answer 1

以单摆平衡位置为 0，摆最大角位移为α（为正），任意位置摆角为θ。
则单摆最大位移Smax＝lα，任意位置位移为S=lθ。
在任意位置，将重力mg沿l方向分解及l的垂直方向分解，
l垂直方向的分力为：F＝－mgsinθ。
因为θ较小，所以sinθ＝θ，所以F＝－mgθ＝－(mg/l)S。
摆球加速度关于位移θ的函数：a＝F/m=－(g/l)S。
∫ a dS＝∫ (dV/dt)dS＝∫ (dS/dt)dV＝∫ V dV＝1/2 V^2；
∫ a dS＝∫ －(g/l)S dS＝－1/2(g/l)S^2+C；C为常数
所以：1/2 V^2＝－1/2(g/l)S^2+C；
当S＝Smax＝lα时，V＝0：
所以：C＝1/2lgα^2。
V＝－√[lgα^2－(g/l) S^2]。
即：dS/dt＝－√[lgα^2－(g/l) S^2]。
推出：dt＝－dS／√[lgα^2－(g/l) S^2]。
对上式两边分别积分：
∫dt＝∫－dS／√[lgα^2－(g/l) S^2]；
所以：t＝－arcsin(S/lα) √(l/g) +D。D为常数。
当S＝Smax＝lα时，t＝0：
所以：D＝π/2√(l/g)
所以：t＝π/2√(l/g)－√(l/g) *arcsin(S/lα)＝√(l/g)*[π/2－arcsin(θ/α)]。
当θ＝α时，t＝0；
当θ＝1/2α时，t＝π/3√(l/g)。
当θ＝0时，t＝π/2√(l/g)。
由此：可以看出，从最大位移处到0，时间为：π/2√(l/g)。
那么：单摆整个周期 T＝4*π/2√(l/g)＝2π√(l/g)。
^_^，十多年不研究力学与高数了，但愿我分析得到对，但愿你有帮助。

Answer 2

是用高中物理的背景还是大学物理的知识求解？

如果可以用高等数学求解是最简单的，解微分方程求出位移和时间的表达式即可
用高中的知识求解就麻烦，有一种方法：考虑将简谐振动等效为一个匀速圆周运动在同平面内一条直线上的投影，即物体做圆周运动时就相当于在这条投影线上做往复的简谐振动；你可以分析一下这个投影上的速度与位移的关系或者往复力与位移的关系，会发现跟简谐振动是一样的

总之，最后会得到振动的位移表达式，α=θ*cos(t*(g/l)^0.5)，θ为单摆的最大位移，α为角位移
t＝0时，角位移α=θ，处在最大位移处
α=θ/2时，可解得t=π/3*(l/g)^0.5=T/6，需六分之一周期

Answer 3

π/3 * √（L/G） 标准答案