Question

已知a,b,c为实数，且a+b+c=1，求证a²+b²+c²≥1/3

Answer 1

由题意得(a+b+c)²=1²=1 ，所以a²＋b²＋c²≧(a+b+c)²/3
将不等式两边同时乘3 用不等式性质2得 3(a²+b²+c²)≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
再用不等式性质1将右边的代数式移到左边 得2(a²+b²+c²)-2ab-2bc-2ac≥0
再变形为a²+b²+c²+a²+b²+c²-2ab-2bc-2ac=（a-b)²+(b-c)²+(a-c)²
因为任何实数的平方均为非负数 所以（a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0成立
即a²＋b²＋c²≧1／3成立。

Answer 2

∵a,b,c为实数，且a+b+c=1
∴令a=1 b=-1 c=0
∴a²+b²+c²=1²+(-1)²+0²=2＞1/3
∴a²+b²+c²≥1/3