Question

若不等式1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+......+1/(3n+1)>a/24 对一切正整数 都成立，求正整数a的最大值,并证明

Answer 1

柯西不等式：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+..bn^2)>=(a1b1+a2b2+..anbn)^2
当a1/b1=a2/b2=...an/bn时,取等号.
所以：
[1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+......+1/(3n+1)](n+1+n+2+n+3+....+3n+1)>(1+1+..+1)^2=(2n)^2=4n^2
(n+1+n+2+...3n+1)=(3n+1+n+1)*2n/2=(4n+2)n (一共2n项)
[1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+......+1/(3n+1)]>4n^2/[(4n+2)n]=2n/(2n+1)>=a/24
2n/(2n+1)=[2n+1-1]/(2n+1)=1-1/(2n+1) n=1时，1/（2n+1)最大，-1/(2n+1)最小，1-1/(2n+1)最小，
2n/(2n+1)最小值为：2/(2+1)=2/3
要使用2n/(2n+1)>=a/24恒成立，必须a/24<=2/3
即： a<=16 a的最大值为16

Answer 2

f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+......+1/(3n+1)
f(n+1)-f(n)=1/(3n+2)+1/(3n+3)+1/(3n+4)-1/(n+1)
=2/(3n+2)(3n+3)(3n+4)>0
f(n)递增
所以f(n)最小值为f(1)=13/12
1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+......+1/(3n+1)>a/24 对一切正整数 都成立
所以a/24<min{f(n)}
即a/24<13/12
a<26
所以a的最大正整数为25