Question

已知函数f（x）=x²+4ax+2a+6 1.若函数f（x）的值域为[0，+∞），求a的值

2.若函数f（x）的函数值均为非负数，求g（a）=2-a|a+3|的值域

Answer 1

解：（1）根据题意得 x^2+4ax+2a+6=0有1个根，（4a)^2-4(2a+6)=0
(4a)^2-2(4a)-24=0
(4a-1)^2=25
4a-1=±5
A:4a=6，a=3/2
B：4a=-4，a=-1
验算：a=3/2时，f(x)=x^2+6x+9=（x+3)^2值域为[0，+∞），符合题意
a=-1时，f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2值域为[0，+∞），符合题意
两个解都对
（2）f(x)=x^2+4ax+2a+6的函数图像开口向上，最小值为0时，函数值均为非负数，则
f(x)=0只有1解或者无解时才能满足要求
那么有 x^2+4ax+2a+6≤0
得出(4a-1)^2≤25
-5≤4a-1≤5
-4≤4a≤6
-1≤a≤3/2
g(a)=2-a|a+3|
a+3>0，所以
g(a)=2-a(a+3)
=2-a^2-3a
=-(a+1.5)^2+4.25
a=-1时g(a)值最大=4
a=3/2时g(a)值最小=-4.75=-19/4
g(a)值域为[-19/4,4]