Question

已知函数f(x)=x平方+4ax+2a+6 详细解题步骤，谢了

已知函数f(x)=x平方+4ax+2a+6
(1)若f(X)的值域为【0，+无穷），求a的值
（2）若函数f(x）大于等于零恒成立求f(a)=2-a|a+3|的值域

Answer 1

解：
(1)
f(x)=x²+4ax+2a+6=(x+2a)²-4a²+2a+6
顶点坐标(-2a，-4a²+2a+6)，二次项系数1>0，函数图象开口向上。
当x=-2a时，f(x)有最小值f(x)min=-4a²+2a+6，又函数值域为[0，+∞)
-4a²+2a+6=0
整理，得
2a²-a-3=0
(a+1)(2a-3)=0
a=-1或a=3/2
(2)
f(x)≥0恒成立，方程x²+4ax+2a+6=0判别式△≤0
△=(4a)²-4(2a+6)≤0
整理，得
2a²-a-3≤0
(a+1)(2a-3)≤0
-1≤a≤3/2
a+3>0
f(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)=-a²-3a+2=-(a+3/2)²+17/4
-1≤a≤3/2，函数单调递减
当a=-1时，f(a)有最大值f(a)max=-1+3+2=4
当a=3/2时，f(a)有最小值f(a)min=-(3/2)²-3(3/2)+2=-19/4
函数f(a)的值域为[-19/4，4]

追问

顶点坐标怎么求？

追答

求顶点坐标是二次函数最基本的知识，具体方法就是先配方：
y=ax²+bx+c=a[x+b/(2a)]²+(4ac-b²)/(4a)
顶点坐标(-b/(2a)，(4ac-b²)/(4a))

追问

f(x)=x²+4ax+2a+6=(x+2a)²-4a²+2a+6
为什么要算出来等号后边的，x²+4ax+2a+6就是y=ax²+bx+c

追答

看来你还没学二次函数，你是不是在预习啊？二次项系数>0，又平方项恒非负，当平方项=0时，函数取得最小值。至于我写的y=ax²+bx+c，是教你一般形式的二次函数如何做。本题相对于一般式，
a=1 b=4a c=2a+6

追问

f(x)≥0恒成立，方程x²+4ax+2a+6=0判别式△≤0，为什么？

追答

二次项系数>0，函数图象开口向上，始终在x轴及其上方，与x轴至多有1个交点，方程至多有两相等的实数根，或无实数根，判别式△≤0。

追问

老师，-1≤a≤3/2，函数单调递减
为什么？
求出-(a+3/2)²+17/4是什么用？

Answer 2

1、f(x)=x^2+4ax+2a+6
=(x+2a)^2-4a^2+2a+6
因：f(x)≥0 所以有：
-4a^2+2a+6=0
2a^2-a-3=0
(2a-3)(a+1)=0
解得：a=-1或 a=2/3
2、f(x)≥恒成立，
-4a^2+2a+6≥0
则有：-1≤a≤2/3
f(a)=2-a|a+3|
=2-a^2-3a
=-(a+3/2)^2+17/4
当a=-1时有最大值为：4
当a=2/3时有最小值为：-4/9
所以其值域为：[-4/9,4]

Answer 3

1) f(x)的最小值是0
而 f(x)=x²+4ax+2a+6=(x+2a)²-4a²+2a+6
∴4a²-2a-6=0
2a²-a-3=0
(2a-3)(a+1)=0
a=3/2 或a=-1
2)题目有点不清
f(x) 与f(a)是不是同一函数？

追问

原题就是这样叙述的

追答

前面的朋友已经解答了，我就不再多述了

Answer 4

答案见图片