Question

如图，已知△abc中，∠ACB=90º,点D、E分别是AC、AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A。求证：

四边形DECF是平行四边形。

Answer 1

证明：
∵点D、E分别是AC、AB的中点
∴DE是⊿ABC的中位线
∴DE//CB
∴∠ADE=∠ACB=90º
∵AD=CD，∠ADE=∠CDE=90º，DE=DE
∴⊿ADE≌⊿CDE（SAS）
∴∠A=∠ECD
∵∠CDF=∠A
∴∠ECD=∠CDF
∴EC//DF
∴四边形DECF是平行四边形【两组对边平行】
【或】中位线后
∵∠A=∠CDF， AD=CD，∠ADE=∠DCF=90º
∴⊿ADE≌⊿DCF（ASA）
∴DE=CF
又∵DE//CF
∴四边形DECF是平行四边形【对边平行且相等】

Answer 2

三角形DCF与三角形ACB相似（三个角分别相等）；
DC是AC的一半，故CF是BC的一半；
DE平行于BC且等于BC的一半(中位线）；
所以DE=CF，且两条线平行；
所以四边形DECF是平行四边形