Question

一道数学题，高手进

根据所给的通项公式，求下列各数列的前n项的和
an=n.x的n次方

Answer 1

当x=1时，
sn=1+2+3+..........+n
=(1+n)*n/2
当x≠1时，
sn=x+2x^2+3x^3+...............+nx^n (1)
xsn=x^2+2x^3+...................+nx^(n+1)(2)
(1)-(2)得：
(1-x)sn=x+x^2+x^3+..........+x^n-nx^(n+1)
(1-x)sn=x(1-x^n)/(1-x)-nx^(n+1)
sn=x[nx^(n+1)-nx^n-x^n+1)]/(1-x)^2

希望你能看懂，你能明白， 望采纳，赞同

Answer 2

根据所给通项公式：
a1 = x
a2 = 2x^2 (即2乘以x的2次方，后面的表示都是类似的)
a3 = 3x^3
a4 = 4x^4
...
an = nx^n

前n项的和 = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + ... + nx^n
= (x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^n)
+ (x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^n)
+ (x^3 + x^4 + ... + x^n)
+ (x^4 + ...+ x^n)
...
+ x^n
(观察下，每个括号里面都是等比数列，可以利用公式求和)

分情况讨论：
x = 1 时，等比数列公比=1
前n项的和 = n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 1 = n(n+1)/2

x ≠ 1 时，可以利用等比数列求和公式计算
前n项的和 = {x(1-x^n) + x^2[1-x^(n-1)] + x^3[1-x^(n-2)] + x^4[1-x^(n-3)] + ... + x^(n-1)(1-x^2) + x^n(1-x)} /(1-x)
= [x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^(n-1) + x^n - nx^(n+1)]/(1-x)
再利用一次等比数列求和公式
化简得到
= [x - (n+1)x^(n+1) + nx^(n+2)]/(1-x)^2

Answer 3

给的分有点少。。。
有两种方法：
第一种是利用 （1-x^n) / (1- x) = 1 + x + x^2 + ... + x^n， 然后进行求导，可以知道
1 + 2x + ... + nx^(n - 1) = 左边的式子自己求导吧 ，然后再在左右都乘以x就行
第二种是两次运用裂项相减法
Sn = x + 2x^2 + 3x^3 + ... + nx^n 故
x * Sn = x^2 + 2x^3 + ... + (n-1)x^n + n^x(n+1)
上下两式相减然后利用等比数列的求和公式就行

Answer 4

用错位相减法
分类讨论：x=1时，Sn=n(n+1)/2
x=0时Sn=0
x不等于0,1时，Sn=1x+2x^2+……+nx^n
两遍同时乘以x
xSn=1x^2+……+nx^(n+1)
相减，左边是(x-1)Sn,右边是-x-x^2-……-x^n+nx^(n+1)
前边n项用等比数列求和
最后除以x-1即可

Answer 5

当x=1时Sn=n(n+1)/2;
当x≠1时Sn=x(1-x^n)／(1-x)^2 -nx^(n+1)／(1-x)