Question

数列{an}的前项n的和为Sn,存在常数A、B、C，使得an+Sn=An^2+Bn+C对任意正整数都成立。若数列{an}为等差数列

数列{an}的前项n的和为Sn,存在常数A、B、C，使得an+Sn=An^2+Bn+C对任意正整数n都成立。若数列{an}为等差数列，求证：3A-B+C＝0

Answer 1

证明，据题意，{an}为等差数列，不妨假设它的首项为a1，公差为k。所以：
Sn=n*a1+k*n*（n-1）/2
an+Sn=a1+（n-1）k+n*a1+k*n*（n-1）/2
=a1+nk-k+na1+(k/2)n^2-kn/2
=(k/2)n^2+(a1+k/2)n+(a1+k)
据题意，存在常数ABC对所有n成立，则显然：
A=k/2
B=a1+k/2
C=a1-k
这样简单演算，得到
3A-B+C=0
证毕。

追问

（2）若A=-1/2,B=-3/2,C=1,设bn=an+n,数列{nbn}的前n项的和为Tn,求Tn;
（3）若C＝0，{an}是首项为1的等差数列，设P＝根号1＋1/ai^2+1/ai+1^2(求i＝1……2012的和），求不超过P的最大正整数的值。

追答

(2)根据新的条件，若A=-1/2,B=-3/2,C=1,发现3A-B+C不等于0了，估计是您写错了？
(3)设P＝根号1＋1/ai^2+1/ai+1^2(求i＝1……2012的和），
这一串写得有点乱，能不能清晰一些？

追问

题目没错，bn为另一数列，它等于an+n,{nbn}中为n乘bn，根号1＋1/ai^2+1/ai+1^2为根号下1与两分式的和，a的右边为其下标，2为其平方，求i＝1……2012的和为∑1至2012的求之意，请你帮助解答，这里先谢谢了！

追答

第二问，bn为另一数列没错，但ABC是何定义？
第三问清晰了。第三问，若C=0，a1=1，那么公差k=1，这个等差数列就是an=n，即1，2，3，...，n，....
我们发现1＋1/ai^2+1/a(i+1)^2
=1+1/i^2+1/(i+1)^2=(I^2+i+1)^2/i^2(i+1)^2
所以可以开出平方。

原式=根号（1+1/ai^2+1/a(i+1)^2）
=(I^2+i+1)/i(i+1)
=1+1/i-1/（i+1）
最后：
∑=2012+1-1/2012
=2013-1/2013

Answer 2

第二问解错了
将n-1带入可得 2an-(an-1)+n+1=0 注意（an-1中的-1是在下面的）
2（an+n)-(an-1+n-1)=0
2bn-bn-1=0 n大于等于2
n=1 b1和b2求出 验证等比
所以，bn 为等比数列
注意，以上过程是在n大于等于2的前提下，还需要n=1时，通过b1b2证明是等比数列过程才严谨

他的第三问我没有看懂，不过我做出的答案是2012
可以所出来 an=n P=n+n/n+1

然后用列项求和 得 Tn=2-(1/2^n-1)-n/2^n

Answer 3

设an=a1+(n-1)d,那么Sn=a1n+n(n-1)d/2,那么等式变为dn^2/2+(d/2+a1)n+a1-d=An^2+Bn+C,即有d/2=A,d/2+a1=B,a1-d=C,那么3A-B+C=0，证毕。

追问

数列{an}的前项n的和为Sn,存在常数A、B、C，使得an+Sn=An^2+Bn+C对任意正整数n都成立。(1)若数列{an}为等差数列，求证：3A-B+C＝0; （2）若A=-1/2,B=-3/2,C=1,设bn=an+n,数列{nbn}的前n项的和为Tn,求Tn;