Question

已知向量m=（sinA，sinB），向量n=（cosB，cosA），若向量m*向量n=sin2C，且A,B,C分别为△ABC的三边

a，b，c所对的角
1. 求角C的大小
2. 若sinA,sinC,sinB成等差数列，且向量CA*（向量AB-向量AC）=18，求c边的长

Answer 1

1.向量m*向量n=sinA*cosB+cosA*sinB=sin(A+B)=sin2C
得A+B=2C 或是 A+B+2C=π 又因为A B C 分别为△ABC的三角 所以A+B+C=π 且A+B+2C=π 不成立 得到 A+B=2C A+B+C=π 解得 A+B=2π /3 C=π /3
2由于sinA,sinC,sinB成等差数列，则2sinC=sinA+sinB=跟号3 令 B=2π /3 -A 带入sinA+sinB=跟号3 即sinA+sin（2π /3 -A）=跟号3 化简得sin(A+π/6)=1 得A+π/6=π/2 A=π/3 由A+B+C=π 得 A=B=C=π/3 则三角形三边 a=b=c
向量CA*（向量AB-向量AC）=向量CA*向量CB=a*b*cosC=18 解得a=b=c=6