Question

已知二次函数y=x2+bx-3的图象经过点P(－2，5) (1)求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围； (2)设P1(m,y1)、P

已知二次函数y=x2+bx-3的图象经过点P(－2，5)
(1)求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
(2)设P1(m,y1)、P2(m+1,y2)、P (m+2,y3)在这个二次函数的图象上，
①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由。

Answer 1

解：（1）已知二次函数y=x²+bx-3的图象经过点P(－2，5) ，可知当x=-2时，
y=4-2b-3=5，即2b=-4，解得：b=-2
所以函数解析式为：y=x²-2x-3=(x-1)²-4
若1＜x≤3，那么：0＜(x-1)²≤4，此时：-4<(x-1)²-4≤0
所以当1＜x≤3时，-4<y≤0

（2）设P1(m,y1)、P2(m+1,y2)、P (m+2,y3)在这个二次函数的图象上，
①当m=4时，点P1、P2、P3坐标分别为：(4,y1)，(5,y2)，(6,y3)
则由解析式：y=(x-1)²-4，易得：
y1=5，y2=12，y3=21
由于三角形任意两边之和大于第三边，而y1+y2<y3
所以：当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长。

②由（2）①可得：
y1=(m-1)²-4=m²-2m-3，y2=(m+1-1)²-4=m²-4，y3=(m+2-1)²-4=m²+2m-3
由于函数的对称轴x=1，且函数在(1，+∞）上单调递增
所以：当m≥5时，有y3>y2>y1
要使m≥5时，y1，y2，y3能作为同一个三角形三边的长
只需验证y1+y2>y3即可
y1+y2-y3
=m²-2m-3+m²-4-（m²+2m-3）
=m²-4m-4
=(m-2)²-8
若m≥5，那么：(m-2)²≥9，(m-2)²-8≥1>0
所以：当m≥5时，y1+y2>y3恒成立
即证得：当m取不小于5的任意实数时，y1，y2，y3一定能作为同一个三角形三边的长

Answer 2

（1）将P坐标代入，解得b=-2，则y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4。当1＜x≤3时，二次函数单调增加，
-4<y≤0
（2）①此时P1（4,y1)，P2（5，y2)，P3（6，y3)，代入函数解析式，得y1=5，y2=12，y3=21。P1P2＝5√2，P2P3＝√82，P3P1＝√260。P1P2+P2P3>P3P1，P3P1-P1P2<P2P3，故可以组成三角形。
②y2-y1=2m-1，y3-y2=2m+1，y3-y1=2m。则P1P2＝√1+(2m-1)^2=√4m^2-4m+2, P2P3=√1+(2m+1)^2=√4m^2+4m+2, P3P1=√4m^2+4。后面的计算，在电脑上不便输入，大致思路就是建立函数，利用单调性即可解决。

Answer 3

分析：（1）把（-2，5）代入二次函数y=x2+bx-3，求出b，根据图象的对称轴即可得出y的范围；
（2）①不能，因为代入求出y1=5，y2=12，y3=21，不符合三边关系定理；
②求出y1+y2-y3的值即可．
解答：解：
（1）把（-2，5）代入二次函数y=x2+bx-3得：5=4-2b-3，
∴b=-2，
y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线的开口方向向上，对称轴是直线x=1，
把x=1代入得：y=-4，
把x=3代入得：y=0，
∴当1＜x≤3时y的取值范围是-4＜y≤0，
答：b的值是-2，当1＜x≤3时y的取值范围是-4＜y≤0．
（2）①答：当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当m=4时，P1（4，y1）、P2（5，y2）、P（6，y3），
代入抛物线的解析式得：y1=5，y2=12，y3=21，
∵5+12＜21，
∴当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：（m-1）2-4+（m+1-1）2-4-[（m+2-1）2-4]=（m-2）2-8，即y1+y2＞y3，
∵m≥5，
∴（m-2）2-8＞0，
∴当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长．

Answer 4

将坐标代入函数解析式