Question

若a²=a+1,b²=b+1,a≠b,则a^5+b^5等于多少?

Answer 1

解：
实际上a和b就是方程x^2=x+1（即x^2-x-1=0）的2个根。
根据求根公式，
x=[1±√(1+4)]/2
=(1±√5)/2

所以设a大于b（其实a小于b也一样）

则：a=(1+√5)/2
b=(1-√5)/2

a^5=a^2*a^2*a=(a+1)^2*a=(3+√5)^2/4*(1+√5)/2=(44+20√5)/8
b^5=b^2*b^2*b=(b+1)^2*a=(3-√5)^2/4*(1-√5)/2=(44-20√5)/8

所以a^5+b^5 =(44+20√5)/8+(44-20√5)/8=88/8=11

追问

请问求根公式怎么弄的

追答

x^2-x-1
=(x^2-x+1/4)-5/4
=(x-1/2)^2-5/4
=(x-1/2+√5/2)(x-1/2-√5/2)
通过配方得到

Answer 2

a^5+b^5
=(a²)(a²)(a)+(b²)(b²)(b)
=(a+1)²*a+(b+1)²*b
=a*(a²+2a+1)+b*(b²+2b+1)
=a*(a+1+2a+1)+b*(b+1+2b+1)
=a*(3a+2)+b*(3b+2)
=3a²+2a+3b²+2b
=3a+3+2a+3b+3+2b
=5a+5b+6

追问

谢~不过你没求出来哦