Question

已知椭圆C的长轴是短轴的2倍，且经过点（1，0） （1） 求椭圆C的标准方程； （2） 若过点M（0，1）的直线L

已知椭圆C的长轴是短轴的2倍，且经过点（1，0）
（1） 求椭圆C的标准方程；
（2） 若过点M（0，1）的直线L交椭圆C（取焦点在y轴上的椭圆）于A、B，点P是线段AB的中点，当直线L绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程

速度啊。～

Answer 1

(1)
长轴在x，则长轴 = 1，短轴 = 1/2，方程：x^2 + 4y^2 = 1
长轴在y，则长轴 = 2，短轴 = 1，方程：4x^2 + y^2 = 4
(2)
按题意，此时方程为：4x^2 + y^2 = 4
L斜率存在时，设为k，则L：y = kx + 1
设A(x1，y1)B(x2，y2)
则4(x1)^2 + (y1)^2 = 4或4(x2)^2 + (y2)^2 = 4
两个方程相减并整理可得：
[(y1-y2)/(x1-x2)]·[(y1+y2)/(x1+x2)] = -4
其中：[(y1-y2)/(x1-x2)] = k(AB) = k(L) = k，而P(x0，y0)是AB中点∴y1+y2 = 2y0，x1+x2=2x0
∴k·(y0/x0) = -4 ，∴k = -4x0/y0 ，代入直线方程得：
(y0)^2 = -4(x0)^2 + y0
整理可得：4[(x0) - 0]^2 + [(y0) - (1/2)]^2 = 1/4 = (1/2)^2
当L斜率不存在，即⊥x轴时，求得A、B坐标(0,2)、(0，-2)，P(0,0)代入上式仍成立
∴动点P的轨迹方程是以(0,1/2)为圆心，1/2为半径的圆：4x^2 + [y-(1/2)]^2 = 1/4