Question

设X>等于1`y>等于1、证明X+y+1/Xy<等于1/x+1/y+Xy

Answer 1

x+y+1/(xy)-1/x-1/y-xy
=(x²y+xy²+1-y-x-x²y²)/(xy)
=[(x²y-x)+(xy²-y)-(x²y²-1)]/(xy)
=[x(xy-1)+y(xy-1)-(xy+1)(xy-1)]/(xy)
=(xy-1)(x+y-xy-1)/(xy)
=(xy-1)[(x-xy)+(y-1)]/(xy)
=(xy-1)[-x(y-1)+(y-1)]/(xy)
=(xy-1)(y-1)(1-x)/(xy)
由x>1 y>1 得xy>1 xy-1>0；y-1>0；1-x<0，xy>0
(xy-1)(y-1)(1-x)/(xy)<0
x+y+1/(xy)<1/x+1/y+xy，不等式成立。

或
证明：因为x≥1，y≥1， 所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
展开得x^2y^2－x^2y－xy^2＋x＋y－1≥0，移项得：x^2y＋xy^2＋1≤x^2y^2＋x＋y。
两边同除以xy得x＋y＋1/xy≤1/x＋1/y＋xy

Answer 2

不等式 可化成 1/y+1/x+1/xy <=1/x+1/y+xy 左右两边都有1/x+1/y 所以只用比较1/xy与 xy 的大小就可，而x>=1 y>=1 所以xy>=1而 1/xy<=1 所以X+y+1/Xy<等于1/x+1/y+Xy

Answer 3

分析法
由题设可知: (xy)≥1
原不等式两边同乘以xy, 可得：
x²y+xy²+1≤x+y+(xy)²
移项，因式分解可得：
（xy-1)(xy+1-x-y)≥0.
(xy-1)(x-1)(y-1)≥0
由题设，显然成立。
【【【证明】】】
由题设可知：x≥1,且y≥1
∴恒有：x-1≥0且y-1≥0,且xy-1≥0
∴(x-1)(y-1)(xy-1)≥0.
展开，整理可得：
x²y+xy²+1≤x+y+(xy)²
两边同除以xy, 可得：
x+y+(1/xy)≤(1/x)+(1/y)+xy
即原不等式成立。

Answer 4

不等式两边同乘以xy，则不等式为x^2*y^2大于等于1
有已知条件易证

Answer 5

X>等于1，y>等于1
∵1/xy<=xy
∴（X+y+1）/Xy=1/x+1/y+1/Xy<=1/x+1/y+Xy