Question

立体几何题目高中数学的

在三棱锥P-ABC，PA⊥ABC，∠ABC=90°，PA=AB=1，AC=2，以AC为直径的球面与PC，PB分别交于E，F，那么E，F两点间球面距离是
请写出详细过程

Answer 1

在三棱锥P-ABC，PA⊥ABC，∠ABC=90°，PA=AB=1，AC=2，以AC为直径的球面与PC，PB分别交于E，F，那么E，F两点间球面距离是
解析：∵在三棱锥P-ABC，PA⊥ABC，∠ABC=90°
过B作BD//PA
建立以B为原点，以BC方程为X轴，以BA方向为Y轴，以BD方向为Z轴正方向的空间直角坐标系B-xyz
∵PA=AB=1，AC=2，以AC为直径的球面与PC，PB分别交于E，F
∴BC=√(AC^2-AB^2)= √3==>∠BAC=60°，∠BCA=30°，球半径为1
则点坐标：B(0,0,0)，C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,1,1)
设O为球心，则O(1/2,1/2,0)
在面PAC中，圆O与PC交于E
则OA=OE=OC=1
设∠PCA=θ==>sinθ=√5/5，cosθ=2√5/5==>∠EOA=2θ
过E作ED⊥AC交AC于D
∴ED=EO*sin2θ=4/5，DO=EO*cos2θ=3/5==>AD=2/5
设E(x,y,z)
X=AD*sin60°=√3/5，y=DC*sin30°=(2-2/5)*1/2=4/5
∴E(√3/5,4/5,4/5)

在面PAB中，设此面与球的圆截面直径为AB，圆心O’(0,1/2,0)，圆O’与PB交于F
则O’A=O’F=OB=1/2
设∠PBA=45°
显然，FO’ ⊥A B==>FO’=1/2
设F(x,y,z)
X=0，y=1/2，z=1/2==>F(0,1/2,1/2)
向量OE=(√3/5-1/2,4/5-1/2,4/5) =((2√3-5)/10,3/10,4/5)==>| 向量OE |=√(110-20√3)/10
向量OF=(-1/2,0,1/2)==>| 向量OF |=√2/2
向量OE•向量OF=(5-2√3)/20+2/5=(13-2√3)/20
Cos<向量OE•向量OF>=向量OE•向量OF/|向量OE|•|向量OF|
=(13-2√3)/ √(220-40√3)
∴向量OE,向量OF夹角为arccos(13-2√3)/ √(220-40√3)
EF弧= arccos(13-2√3)/ √(220-40√3) （弧度制）

计算过程数据难免有误，思路应该是正确的

追问

f点会和b点重合吗

追答

我觉得不会，因为PA垂直面ABC，AC为球直径，所以面ABC是球的中心截面，角PBA=45度，F一定在AB弧的中点上

Answer 2

我会给你一个满意答案的，刚才看到你的题目，下午给你图片，这个图片不太好做，因为是球。要画大量的半实半虚的线。

追问

e和b会重合吗,如果重合,答案是其它吗?

追答

看来我的第2个小节中的第二行的x=1被舍去缺乏证据，要不然接着x=1,创建一个分支。不过那个答案较好做在直角三角形FBC中用勾股定理。我就不做了。

Answer 3

根2
AC为直径的话 半径就是1 与AB.AP平行且相等 可以证出来面APC与面AB垂直 所以有勾股定理可得EF为根二
那个我可以把思路说给你听 具体细节还是得靠自己摸索了