Question

如图 正方形ABCD与正方形BEFG有个公共点B,点G在边BC上,AG的延长线交CE于点H，连接BH

（1）若AB=2BG 求BH/AH
（2）若AB=kBG 直接写出BH/AH的值（用含k的代数式表示）。

Answer 1

我们来证明一般情形:

令BE=1,AB=k.

△ABG≌△CBE,易证AH⊥CE.

作BP⊥CE于P.则BP∥AH.

△AHE∽△ABG,

AH:HE=AB:BG=AB:BE=k:1,知HB为∠AHB的角平分线.BH=√2BP.(这个应该是此题关键点)

AH:AE=AB:AG,知AH=k(k+1)/√(1+k^2),

AH:BP=AE:BE,知BP=k/√(1+k^2),BH=√2BP=√2k/√(1+k^2),

BH/AH=√2/(k+1).

当K=2时为第一问.

Answer 2

（1）证明：∵四边形ABCD与BEFG是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠CBE=90°，GB=EB，
在△ABG和△BCE中，
∵AB=CB∠ABG=∠CBEGB=EB​，
∴△ABG≌△BCE（SAS），
∴∠BAG=∠BCE；

（2）连接AC，
∵由（1）得：∠BAG=∠BCE，
∴∠BAG+∠BEH=∠BCE+∠BEH=180°-∠CBE=90°，
∴∠AHE=180°-（∠BAG+∠BEH）=90°
∵∠AGB=∠CGH，
∴△AGB∽△CGH，
∴AGCG=
BGHG，
∴HGCG=
BGAG，
∵∠BGH=∠AGC，
∴△BGH∽△AGC，
∴BHAC=
BGAG，
即BH•AG=AC•BG，
在Rt△AHE和Rt△ABG中，
∵cosHAE=AHAE=ABAG，
∴AH•AG=AB•AE，
∴BH•AGAH•AG=AC•BGAB•AE，
∴BHAH=AC•BGAB(AB+BE)，
∵AB=2BG，
∴BHAH=2AB•BGAB•3BG=23；

（3）由（2）得：BHAH=AC•BGAB(AB+BE)，
∵AB=kBG，
∴∴BHAH=2AB•BGAB•(k+1)BG=2k+1．

Answer 3

（1）BH/AH=3倍根号2/2
（2）BH/AH=（k+1)倍根号2/2
过程太复杂（主要是算）辅助线是作BM⊥BH于B，交AG于H。