Question

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1B1的中点，求异面直线AM和BD1所成的角

Answer 1

以D为坐标原点，DD1而z轴，DA为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系
设棱长为2
A(2,0,0) B(2,2,0) D1(0,0,2) M(2,1,2)
向量AM=(0,1,2)
向量BD1=(-2,-2,2)
cos<AM,BD1>=(向量AM*向量BD1)/|向量AM|*|向量BD1|
=2/(√5*2√3)
=√15/15
异面直线AM和BD1所成的角为arccos(√15/15)

追问

谢谢，可我还没学过空间直角坐标系，有没有其他方法

追答

连接B1D1，A1C1交于点E，取AD中点F，取BB1中点N
EF//AM，FN//BD1
所以∠FEN为异面直线AM和BD1所成角
设正方体棱长为2
连接FN，在△EFN中，
EN=√3，EF=√5，FN=√6
余弦定理
cos∠FEN=(3+5-6)/2*√3*√5=√15/15

追问

为什么FN//BD1？

追答

F是B1D1中点，N是BB1中点
FN是△B1BD1三角形中位线

追问

。。。应该是E吧，E是B1D1中点