Question

1.若α∈（π/2，π），且3cos2α=sin（π/4-α），则sin2α=？

2.过双曲线x²/a²-y²/b²=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的焦点分别为A,B，若向量F2A=向量AB，则双曲线的渐近线为？
3.设|AB|=1，若|CA|=2|CB|，则向量CA*向量CB的最大值为？

Answer 1

1.
3cos2α=sin（π/4-α) ==> 3(cosα+sinα)(cosα-sinα)=√2/2(cosα-sinα)
==> cosα+sinα=√2/6 ==> cos²α+sin²α+sin2α=1/18 ==>sin2α=-17/18
2
过右焦点F2斜率为-1的直线：y=c-x
y=c-x 与y=-b/ax交于B(ac/(a-b),bc/(b-a))
∵向量F2A=向量AB，∴A是线段F2B的中点
∴ F1B//OA ∴[bc/(b-a)]/[ac/(a-b)+c]=b/a
∴b/(b-2a)=b/a ==>b=3a==>b/a=3
∴渐近线：y=±3x
3
∵1= |AB|≥|CA|-|CB|=|CB|, 1=|AB|≤|CA|+|CB|=3|CB|
∴1/3≤|CB|≤1,|CA|≤2 ∴向量CA*向量CB≤|CA||CB|=2
即向量CA*向量CB的最大值为2